Possiamo sfruttare le conoscenze acquisite sulle funzioni goniometriche per rivedere alcune proprietà dei poligoni, e in particolare dei poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza.
Formule di Briggs
Le formule di Briggs permettono di determinare le ampiezze degli angoli di un triangolo, conoscendo le misure dei lati.
Consideriamo un triangolo di lati a, b, c e di angoli \(\alpha, \beta, \gamma \); indichiamo con p il semiperimetro del triangolo.
Le seguenti formule permettono di determinare il seno e il coseno della metà degli angoli:
\[ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}} \,\,\, , \,\,\, \sin\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{ac}} \]
\[ \sin\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}} \]
\[ \cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{p(p-a)}{bc}} \,\,\, , \,\,\, \cos\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{p(p-b)}{ac}} \]
\[ \cos\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}}\]
Da queste formule, inoltre, possiamo ricavare le formule per trovare tangente e cotangente degli angoli:
\[ \tan\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}} \,\,\, , \,\,\, \tan\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}} \]
\[ \tan\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}} \]
\[ \cot\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{p(p-a)}{(p-b)(p-c)}} \,\,\, , \,\,\, \cot\frac{\beta}{2} = \sqrt{\frac{p(p-b)}{(p-a)(p-c)}} \]
\[ \cot\frac{\gamma}{2} = \sqrt{\frac{p(p-c)}{(p-a)(p-b)}}\]
Formula di Erone
Le formule di Briggs ci permettono di ricavare la formula di Erone, con la quale possiamo determinare l’area di un triangolo conoscendo le misure dei suoi lati.
Ricordiamo che si può determinare l’area di un triangolo conoscendo due lati e l’angolo tra essi compreso; infatti, considerando i lati a e b, e l’angolo \(\gamma\) tre essi compreso, si ha la seguente relazione:
\[ A = \frac{1}{2} ab \cdot \sin \gamma \]
Possiamo trasformare \(\sin\gamma\) dividendo l’angolo \(\gamma\) a metà, e applicando le formule di duplicazione:
\[ \sin\gamma = \sin 2 \cdot \frac{\gamma}{2} = 2 \sin \frac{\gamma}{2}\cdot \cos\frac{\gamma}{2} \]
Applichiamo, poi, le formule di Briggs, e sostituiamole alla formula dell’area del triangolo:
\[ A = \frac{1}{2} ab \cdot \sin \gamma = \frac{1}{2}ab \cdot 2\sin \frac{\gamma}{2} \cdot \cos\frac{\gamma}{2} = \]
\[ ab \cdot \sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{ab}} \cdot \sqrt{\frac{p(p-c)}{ab}} = \]
\[ ab \cdot \sqrt{\frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{ab \cdot ab}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
Abbiamo, quindi, ottenuto la formula di Erone per il calcolo dell’area di un triangolo qualunque.
Raggio della circonferenza inscritta
Consideriamo una circonferenza inscritta in un triangolo qualunque ABC, di lati a, b, c, e indichiamo con p il semiperimetro del triangolo.
Sappiamo che il centro della circonferenza inscritta si dice incentro, ed è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni del triangolo.
Il raggio della circonferenza inscritta è la distanza dell’incentro da uno dei lati del triangolo, e può essere trovato dividendo l’area del triangolo per il semiperimetro; vale, inoltre, la seguente relazione:
\[ r = \frac{A}{p} = (p-a) \cdot \tan \frac{\alpha}{2} \]
La formula si può applicare anche considerando gli altri lati e gli altri angoli del triangolo:
\[ r = (p-a)\cdot\tan \frac{\alpha}{2} =(p-b)\cdot \tan\frac{\beta}{2}=(p-c)\cdot \tan\frac{\gamma}{2} \]
Raggio della circonferenza circoscritta
Consideriamo ora una circonferenza circoscritta a un triangolo qualunque, e chiamiamo r il suo raggio; sappiamo che il centro della circonferenza circoscritta si definisce incentro, ed è il punto di incontro degli assi dei lati del triangolo.
Il raggio della circonferenza circoscritta è dato dal quoziente tra il prodotto dei lati del triangolo per il quadruplo dell’area.
Vale inoltre la seguente relazione:
\[ r = \frac{abc}{4A} = \frac{a}{2\sin\alpha} \]
Mediane di un triangolo
Consideriamo il triangolo ABC, e la mediana AM relativa al lato BC; indichiamo, inoltre, con N e O i punti medi dei lati AB e AC.
Supponiamo di conoscere la misura di tutti i lati del triangolo; allora, la mediana AM può essere ricavata mediante la seguente formula:
\[ \overline{AM} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2b^2+2c^2-a^2} \]
In modo analogo, possiamo ricavare le mediane CN, relativa al lato AB, e BO, relativa al lato AC:
\[ \overline{BO} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2a^2+2c^2-b^2} \,\,\, , \,\,\, \overline{CN} = \frac{1}{2} \cdot\sqrt{2a^2+2b^2-c^2} \]
Bisettrici di un triangolo
Del triangolo ABC in figura, ipotizziamo di conoscere due lati e l’angolo tra essi compreso; indichiamo con AD la bisettrice dell’angolo in A.
Possiamo ricavare la lunghezza di tale bisettrice mediante la seguente formula:
\[ b_\alpha = \frac{2bc\cdot\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c} \]
In maniera analoga, possiamo ricavare le bisettrici relative agli angoli in B e C mediante le seguenti formule:
\[ b_\beta = \frac{2ac\cdot\cos\frac{\beta}{2}}{a+c} \,\,\,\, , \,\,\,\, b_\gamma = \frac{2ab\cdot\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b} \]
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