Introduzione
Data la funzione $y = F(x)$, se $f(x)$ è la derivata di $F(x)$, cioè se $F'(x) = f(x)$, la funzione $F(x)$ si dice primitiva di $f(x)$. Il calcolo degli integrali ci permetterà di determinare la primitiva di una funzione, cioè di determinare quella funzione che ammette $f(x)$ come derivata.
Integrale indefinito
Consideriamo una funzione $F(x)$, primitiva di $f(x)$, cioè tale che $F'(x) = f(x)$. Sapendo che la derivata di una costante è nulla, possiamo dire che tutte le funzioni del tipo $F(x) + C$, dove $C$ è una costante, sono primitive di $f(x)$.
La primitiva più generale di una funzione, in questo caso $F(x) + c$, prende il nome di integrale indefinito di $f(x)$ (che si dice funzione integranda), e si rappresenta con il simbolo: \(\int f(x) \).
Ricapitolando, l’integrale di un funzione $f(x)$ è la funzione $F(x) + C$ se e solo se la derivata di $F(x) + c$ è la funzione $f(x)$; in simboli, abbiamo:
\[ \int f(x) = F(x) + c \Leftrightarrow F'(x) = f(x) \]
L’integrale indefinito, quindi, può essere considerato l’operatore inverso della derivazione, infatti associa alla funzione integranda $f(x)$ l’insieme di tutte e sole le funzioni primitive di $f(x)$ stessa.
Osserviamo che, se è vero che la derivata di una funzione può non esistere in alcuni punti, la stessa cosa non vale per l’integrale. Infatti, di una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato esistono sempre le funzioni primitive, anche se in alcuni casi è difficile determinare l’espressione analitica della primitiva.
Proprietà degli integrali indefiniti
Gli integrali indefiniti godono di alcune importanti proprietà:
- Una costante moltiplicativa può essere trasportata dentro e fuori del segno di integrale indefinito: \[ \int k \cdot f(x)\, dx = k \cdot \int f(x)\, dx \,\,\,\, , \,\,\,\, k \in \mathbb{R} \]
- L’integrale di una somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali delle singole funzioni: \[ \int [f_1(x) + f_2(x)]\, dx = \int f_1(x)\, dx + \int f_2(x)\, dx \]
- L’integrale indefinito è un operatore lineare, in quanto l’integrale di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare degli integrali delle funzioni: \[ \int [k_\ \cdot f_1(x)+ k_2 \cdot f_2(x)]\, dx = \] \[ k_1 \cdot \int f_1(x)\, dx + k_2 \cdot \int f_2(x)\, dx \]
Integrazioni immediate
In alcuni casi, risalire alla primitiva di una funzione, cioè calcolare l’integrale è facile e intuitivo, e basta seguire delle semplici regole. Le formule di integrazione possono essere verificate calcolando la derivata dell’espressione che compare a destra dell’uguale.
- Integrale indefinito di una potenza di $x$ con esponente reale: \[ \int x^\alpha\, dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + c \,\,\,\, , \,\,\,\, \alpha \in \mathbb{R} – \{-1\} \] Esempi
\( \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + c \)\( \int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + c \)
\( \int x^3\, dx = \frac{x^4}{4} + c \)
- Nell’esempio precedente, abbiamo escluso il caso in cui l’esponente di x sia -1; in questo caso, abbiamo: \[ \int \frac{1}{x}\, dx = \log|x| + c \]
In particolare, possiamo generalizzare le formule viste in precedenza, per poterle applicare nel caso in cui abbiamo delle funzioni composte:
- vediamo, quindi, l’integrale di una funzione elevato a un esponente reale: \[ \int [f(x)]^\alpha\, dx = \frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha + 1} + c \,\,\,\, , \,\,\,\, \alpha \in \mathbb{R}-\{-1\} \]
- Vediamo ora un caso particolare: si può calcolare l’integrale di una frazione che ha per denominatore una funzione f(x), e per numeratore la sua derivata f’(x): \[ \int \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx = \log|f(x)|+c \]
I seguenti integrali immediati riguardano funzioni goniometriche:
- Integrale delle funzioni seno e coseno: \[ \int (\cos x)\, dx = \sin x + c \,\,\,\, , \,\,\,\, \int (\sin x)\, dx = – \cos x + c \]
- Integrale dei reciproci delle funzioni seno al quadrato e coseno al quadrato: \[ \int \frac{1}{\cos^2 x}\, dx = \tan x + c \,\,\,\, , \,\,\,\, \int \frac{1}{\sin^2x}\, dx = -\cot x + c \]
- I seguenti integrali hanno come risultato le funzioni inverse delle funzioni goniometriche: \[ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\, dx = \arcsin x + c \,\,\,\, , \,\,\,\, \int \frac{1}{1+x^2}\, dx = -\arctan x + c \]
Possiamo applicare le formule precedenti anche nel caso di funzioni composte: \[ \int \frac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}\, dx = \arcsin[f(x)] + c \,\,\,\, , \,\,\,\, \int \frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}\, dx = -\arctan[f(x)] + c \]
Vediamo, infine, alcuni integrali di funzioni esponenziali:
- Integrale della funzione esponenziale con base $e$: \( \displaystyle \int e^x\, dx = e^x + c \)
- Integrale della funzione esponenziale con base $a$: \( \displaystyle \int a^x\, dx = \frac{a^x}{\log a} + c \)
Le formule precedenti possono essere applicate anche per funzioni composte; abbiamo quindi:
- Integrale della funzione esponenziale composta con base $e$: \[ \int e^{f(x)} \cdot f'(x)\, dx = e^{f(x)}+c \]
- Integrale della funzione esponenziale composta con base $a$: \[ \int a^{f(x)} \cdot f'(x)\, dx = \frac{a^{f(x)}}{\log a} + c \]
Osserviamo che in tutti i casi in cui sono presenti funzioni composte \(g(x) \circ f(x)\) è necessario che la funzione integranda presenti il prodotto di due fattori, di cui uno è la derivata della funzione $f(x)$. Infatti, quando calcoliamo la derivata di una funzione composta, calcoliamo la derivata della funzione con incognita $f(x)$, e poi moltiplichiamo il risultato ottenuto per la sua derivata, $f'(x)$.
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