Una funzione razionale fratta è una funzione del tipo: \[ y = \frac{N(x)}{D(x)} \]
dove, $N(x)$ e $D(x)$ sono polinomi in $x$, di grado, rispettivamente, $m$ ed $n$. Se \(n \gt m\), cioè il denominatore ha grado maggiore, dobbiamo cercare di integrare la funzione così come si presenta, adottando delle regole di calcolo, che mostreremo più avanti.
Se invece \(m > n\), cioè il numeratore ha grado maggiore, dobbiamo cercare di ricondurre la frazione al caso precedente, in cui il denominatore abbia grado maggiore. Per farlo, ricordiamo che possiamo dividere due polinomi tra loro, ottenendo un quoziente e un resto: \[ N(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x) \]
Quindi, il quoziente tra $N(x)$ e $D(x)$ è dato da:
\[ \frac{N(x)}{D(x)} = \frac{Q(x)\cdot D(x)+R(x)}{D(x)} = \] \[ \frac{Q(x)\cdot D(x)}{D(x)}+\frac{R(x)}{D(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{D(x)}\]
Se vogliamo calcolare l’integrale del quoziente, quindi, ricordando le proprietà degli integrali, possiamo “spezzare” l’integrale in due, e calcolare separatamente i due integrali:
\[ \int \frac{N(x)}{D(x)}\, dx = \int\Big[Q(x)+\frac{R(x)}{D(x)}\Big]\, dx = \int Q(x)\, dx + \int \frac{R(x)}{D(x)}\, dx \]
Il primo integrale può essere calcolato facilmente, in quanto è l’integrale di un polinomio; il secondo integrale ha come funzione integranda una frazione, in cui il denominatore ha grado maggiore del numeratore.
Esempio
\( \displaystyle \int \frac{x^2+5x+7}{x+2}\, dx = \int \Big(x+3+\frac{1}{x+2}\Big)\, dx = \)
\( \displaystyle = \frac{x^2}{2}+3x+\int \frac{1}{x+2}\, dx \)
Vediamo alcune strategie che ci permettono di integrare questo tipo di funzioni.
Esaminiamo un caso molto frequente, in cui il denominatore ha grado due; il numeratore, quindi, può avere grado zero oppure 1; l’integrale, quindi, si presenta in questo modo:
\[ \int\frac{px+q}{ax^2+bx+c}\, dx \,\,\,\, , \,\,\,\, \int \frac{q}{ax^2+bx+c}\, dx \]
Analizziamo tra casi che si possono presentare, quando abbiamo \(\Delta \gt 0, \Delta = 0 \text{ oppure } \Delta \lt 0 \).
1° caso: \( \Delta \gt 0 \)
In questo caso, possiamo fattorizzare il denominatore, e scomporlo nel prodotto di due fattori:
\[ ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2) \]
In particolare, possiamo decomporre il polinomio come somma di due frazioni elementari del tipo:
\[ \frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2} \]
dove A e B sono delle costanti, che si possono determinare applicando il principio di identità dei polinomi, uguagliando, cioè, le due espressioni seguenti:
\[ \frac{px+q}{a(x-x_1)(x-x_2)} = \frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{x-x_2} \]
2° caso: ∆ = 0
In questo caso, il polinomio che si trova al denominatore ha due radici coincidenti, e quindi si può scomporre nel seguente modo:
\[ ax^2 +bx +c = a (x-x_1)^2 \]
Nel caso in cui il numeratore abbia grado zero, possiamo procedere in questo modo:
\[ \int \frac{q}{ax^2+bx+c}\, dx = \int \frac{q}{a(x-x_1)^2}\, dx \]
Portiamo fuori dal segno di integrale la frazione $q/a$, e calcoliamo l’integrale che rimane:
\[ \frac{q}{a} \cdot \int (x-x_1)^{-2}\, dx = \frac{q}{a} \cdot \frac{(x-x_1)^{-2+1}}{-2+1} = – \frac{q}{a} \cdot \frac{1}{(x-x_1)} \]
Le soluzioni dell’integrale sono date, quindi, da:
\[ – \frac{q}{a(x-x_1)}+c \]
Vediamo, ora, il caso in cui il numeratore abbia grado uno; l’integrale si presenta in questa forma:
\[ \int \frac{px+q}{ax^2+bx+c}\, dx \]
Per calcolare questo integrale è conveniente decomporlo nella somma di due frazioni, come nel caso precedente; abbiamo quindi:
\[ \frac{px+q}{ax^2+bx+c} = \frac{A}{x-x_1} + \frac{B}{(x-x_1)^2} \]
quindi, gli integrali da calcolare sono i seguenti:
\[ \int \frac{A}{x-x_1}\, dx + \int \frac{B}{(x-x_1)^2}\, dx \]
che sappiamo calcolare facilmente, in quanto A e B sono due costanti.
3° caso: \(\Delta \lt 0 \)
In questo caso, il polinomio che si trova al denominatore non ha radici reali, e quindi non può essere scomposto. Tuttavia, possiamo cercare di esprimere il trinomio come somma di due quadrati, trovando opportuni valori $k$ e $m$ tali che:
\[ ax^2+bx+c = a [(x+k)^2+m^2] \]
A questo punto, nel caso in cui la funzione abbia numeratore di grado zero, possiamo risolvere l’integrale riconducendolo alla forma:
\[ \int \frac{1}{(x+k)^2+m^2}\, dx = \frac{1}{m} \cdot \arctan \Big(\frac{x+k}{m}\Big) + c \]
Esempio: Calcoliamo il seguente integrale:
\( \displaystyle \frac{1}{x^2- 4x + 6}\, dx \)
Notiamo che, in questo caso, si ha \(\Delta = -8\), quindi siamo nel caso \(\Delta \lt 0\).
Possiamo procedere cercando di scrivere il denominatore della integranda come somma di due quadrati, in questo modo:
\( x^2-4x+6=x^2-4x+4+2=(x-2)^2+(\sqrt{2})^2 \)
Quindi, l’integrale diventa:
\( \displaystyle \int \frac{1}{x^2-4x+6}\, dx = \int \frac{1}{(x-2)^2+(\sqrt{2})^2}\, dx \)
Mettiamo in evidenza il quadrato di \( \sqrt{2} \) al denominatore:
\( \displaystyle \int \frac{1}{(x-2)^2+(\sqrt{2})^2}\, dx = \int \frac{1}{(\sqrt{2})^2} \cdot \frac{1}{\Big(\frac{x-2}{\sqrt{2}}\Big)^2+1}\, dx = \)
\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \int \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\Big(\frac{x-2}{\sqrt{2}}\Big)^2+1}\, dx \)
L’integrale che abbiamo ottenuto è della forma
\[ \int \frac{f'(x)}{(f(x))^2+1}\, dx = \arctan f(x) + c \]
Di conseguenza, la funzione che otteniamo è la seguente:
\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \Big(\frac{x-2}{\sqrt{2}}\Big)+c \)
Nel caso, invece, in cui il numeratore abbia grado 1, dobbiamo cercare di decomporre la funzione integranda come somma di due frazioni algebriche, cosicché nella prima compaia al numeratore la derivata del denominatore, mentre nella seconda si abbia al numeratore una costante.
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