Integrazione per sostituzione
In un integrale, possiamo sostituire la variabile $x$ con una funzione in un’altra variabile $t$, purché la nuova funzione in $t$ sia derivabile e invertibile, senza che cambi l’integrale stesso. In questo modo, possiamo risolvere degli integrali la cui risoluzione può risultare difficile in altri modi.
Quindi, se abbiamo l’integrale \( \int f(x) dx \), possiamo sostituire la variabile $x$ con la funzione $g(t)$, ricordando che ora $dx$ corrisponde a $g'(t)dt$, e otteniamo un integrale equivalente:
\[ \int f(x)\, dx = \int f[g(t)] g'(t)\, dt \]
In alcuni casi, l’integrazione per sostituzione è un metodo alternativo per la risoluzione di integrali, mentre in altri costituisce l’unico modo per integrare una funzione.
Esempio: Calcoliamo il seguente integrale: \( \displaystyle \int (x\sqrt{1+x})\, dx \)
Questo integrale non può essere risolto con i metodi tradizionali, in quanto non possiamo ricondurlo ad alcuna forma di integrazione nota. Possiamo, quindi, procedere solo mediante sostituzione.
A volte è difficile capire quale sostituzione occorre fare, e spesso si procede per tentativi. In questo caso, e di solito in molti altri casi in cui compare una radice, è utile sostituire tutta la radice con la variabile t, e poniamo quindi:
\( \sqrt{1+x} = t \)
Calcoliamo anche il differenziale; ricaviamo $x$ dalla relazione precedente:
\( \sqrt{1+x} = t \Rightarrow x = t^2 – 1 \)
Sapendo che $dx$ corrisponde a $g'(t) dt$, e in questo caso abbiamo $g(t) = t^2 -1$, si ha che:
\( dx = g'(t) dt = D(t^2-1) dt = 2t \cdot dt \)
Quindi, l’integrale si trasforma in questo modo:
\( \displaystyle \int (x\sqrt{1+x})\, dx = \int (t^2-1)\cdot t \cdot 2t \cdot dt = 2\int t^2 (t^2-1)\cdot dt \)
Ricordando le proprietà degli integrali, possiamo spezzare l’integrale in due, e calcolare ognuno separatamente:
\( \displaystyle 2 \int t^2 (t^2-1) \cdot dt = 2 \int t^4\, dt – 2 \int t^2\, dt \)
Procediamo ora con le regole di integrazioni delle funzioni potenza:
\( \displaystyle 2 \int t^4\, dt – 2 \int t^2\, dt = 2 \cdot \frac{t^{4+1}}{4+1} -2 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} + c = \)
\( \frac{2}{5}t^5 – \frac{2}{3}t^3 + c\)
Abbiamo, quindi, risolto l’integrale in $t$; per determinare la funzione primitiva in $x$, basta sostituire \( t = \sqrt{x+1} \) alla variabile $t$ della soluzione:
\( \frac{2}{5}t^5 – \frac{2}{3} t^3 + c = \frac{2}{5} (\sqrt{1+x})^5 – \frac{2}{3} (\sqrt{1+x})^3 + c \)
In alcuni casi, possiamo usare delle regole specifiche per sapere quale funzione dobbiamo sostituire; in alcuni casi abbiamo anche delle formule che ci permettono di risalire direttamente alla primitiva:
\[ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + c \]
\[ \int \sqrt{a^2-x^2}\, dx = \frac{1}{2} a^2 \arcsin \frac{x}{a} + \frac{1}{2} x \sqrt{a^2-x^2} + c\,\,\,\, , \,\,\,\, a \gt 0 \]
Integrazione per parti
Possiamo calcolare un integrale con l’integrazione per parti se la funzione integranda si presenta come il prodotto di due funzioni, delle quali una è del tipo $f(x)$ e viene detta fattore finito, l’altra è del tipo $g'(x) dx$ e viene detta fattore differenziale.
Possiamo allora dire che: l’integrale del prodotto di un fattore finito $f(x)$ per un fattore differenziale $g'(x) dx$ è uguale al prodotto del fattore finito per l’integrale $g(x)$ del fattore differenziale, diminuito dell’integrale del prodotto dell’integrale trovato $g(x)$ per il differenziale $f'(x) dx$ del fattore finito. In simboli, possiamo scrivere:
\[ \int f(x) \cdot g'(x)\, dx = f(x) \cdot g(x) – \int f'(x) \cdot g(x)\, dx \]
Esempio: Calcoliamo il seguente integrale: \( \int x \cdot e^x\, dx \)
Questo integrale si presta benissimo alla risoluzione per parti: infatti, possiamo notare che la funzione integranda è costituita da un prodotto, e soddisfa le richieste del metodo. Per capire quale delle due funzioni sia il fattore finito, e quale il fattore differenziale, notiamo che
\( D(x) = 1\,\,\,\, , \,\,\,\, \int x\, dx = \frac{x^2}{2} + c \)
e che :
\( D(e^x) = e^x \,\,\,\, , \,\,\,\, \int e^x\, dx = e^x + c \)
Dato che uno dei due fattori della funzione integranda deve essere la derivata di una qualche funzione, dobbiamo per forza scegliere $g'(x) = e^x$, e $f(x) = x$. Possiamo, quindi, procedere secondo la formula sopra descritta:
\( \displaystyle \int x \cdot e^x\, dx = x\cdot e^x – \int 1 \cdot e^x\, dx = x\cdot e^x – e^x + c = e^x (x-1) + c \)
In alcuni casi è possibile applicare l’integrazione per parti anche se nella funzione integranda non è presente espressamente un prodotto.
Vediamo il seguente esempio: \( \int \log x\, dx \)
In questo caso, non abbiamo il prodotto di due funzioni nella funzione da integrare, ma sappiamo che ogni funzione può essere considerata come il prodotto di se stessa per 1, quindi abbiamo:
\( \displaystyle \int 1 \cdot \log x\, dx \)
Dato che non conosciamo il valore dell’integrale del logaritmo, ma conosciamo l’integrale di 1 (che è $x$), poniamo \(f(x) = \log x \) e \(g'(x) = 1\).
Possiamo quindi risolvere l’integrale applicando la formula precedente:
\( \displaystyle \int 1 \cdot \log x\, dx = x \cdot \log x – \int x \cdot \frac{1}{x}\, dx = \)
\( \displaystyle x \cdot \log x – \int 1\, dx = x \cdot \log x – x + c = x (\log x – 1) + c \)
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