Teoremi sui triangoli rettangoli
I teoremi che illustreremo ci permetteranno di determinare lati o angoli di triangoli rettangoli, conoscendo altri dati su di essi, ad esempio altri lati o altri angoli, sfruttando le funzioni goniometriche applicate a tali angoli.
Consideriamo il triangolo rettangolo HOP, di lati a, b, c, rettangolo in H.
Abbiamo le seguenti relazioni: \[ b = a \cdot \sin \beta = a \cdot \cos \gamma \] \[ c = a \cdot \cos \beta = a \cdot \sin \gamma \]
Quindi, possiamo affermare che:
Teorema: in ogni triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al prodotto tra la misura dell’ipotenusa e il coseno dell’angolo acuto a esso adiacente, o il seno dell’angolo opposto.
Questa relazione ci permette, poi, di ricavare l’ipotenusa in funzione di un cateto e di un angolo; in particolare si ha:
\[ a = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{b}{\cos\gamma} \,\,\,\, , \,\,\,\, a = \frac{c}{\cos\beta} = \frac{c}{\sin \gamma} \]
Quindi:
- in ogni triangolo rettangolo, la misura dell’ipotenusa è uguale al rapporto tra la misura di un cateto e il coseno dell’angolo adiacente ( al cateto ) o al seno dell’angolo opposto ( al cateto ).
Possiamo inoltre utilizzare le formule appena viste per ricavare altre relazioni tra i lati di un triangolo rettangolo e la tangente o la cotangente dei suoi angoli.
Teorema: In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale a quella dell’altro cateto moltiplicata per la tangente dell’angolo opposto al primo cateto, oppure per la cotangente dell’angolo acuto a esso adiacente.
In simboli:
\[ b = c \cdot \tan \beta = c \cdot \cot \gamma \]
\[ c = b \cdot \cot \beta = b \tan \gamma \]
Risoluzione dei triangoli rettangoli
Risolvere un triangolo rettangolo significa determinare le misure dei suoi elementi, cioè le misure dei suoi lati, e le ampiezze dei suoi angoli.
Utilizzando i teoremi visti in precedenza, possiamo risolvere facilmente un triangolo rettangolo, se ci troviamo in uno dei seguenti casi:
Caso 1 : Sono noti l’ipotenusa OP e l’angolo acuto \(\beta\):
In questo caso, possiamo determinare l’angolo restante, sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°; inoltre, per i teoremi visti in precedenza, possiamo ricavare le misure degli altri lati:
\[ \gamma = 180° – 90° – \beta \]
\[ \overline{PH} = \overline{PO} \cdot \sin \beta \]
\[ \overline{OH} = \overline{PO} \cdot \cos \beta \]
Caso 2 : Sono noti il cateto PH e l’angolo acuto adiacente γ.
Possiamo determinare l’angolo restante come in precedenza, e gli altri elementi sfruttando i teoremi sui triangoli rettangoli in questo modo: \[ \beta = 180° – 90° – \gamma \] \[ \overline{PO} = \frac{\overline{PH}}{\cos \gamma} \] \[ \overline{OH} = \overline{PH} \cdot \tan \gamma \]
Caso 3 : Sono note le misure dell’ipotenusa PO e di un cateto, per esempio PH.
Possiamo ricavare il coseno dell’angolo adiacente al cateto, che equivale al seno dell’angolo ad esso opposto; poi, possiamo determinare l’altro cateto con il teorema di Pitagora: \[ \sin \beta = \cos \gamma = \frac{\overline{PH}}{\overline{PO}} \] \[ \overline{OH} = \sqrt{\overline{PO}^2} – \overline{PH}^2 \]
Caso 4 : Sono note le misure dei due cateti PH e OH.
In questo caso, possiamo utilizzare il secondo teorema per ricavare le funzioni goniometriche dei due angoli adiacenti ai cateti; per l’ipotenusa, possiamo sfruttare il teorema di Pitagora: \[ \tan \beta = \cot \gamma = \frac{\overline{PH}}{\overline{OH}} \] \[ \overline{PH} = \sqrt{\overline{PH}^2-\overline{OH}^2}\]
Area di un triangolo
Consideriamo un triangolo ABC qualunque, del quale conosciamo due lati e l’angolo tra essi compreso; il seguente teorema ci permette di determinare l’area del triangolo:
Teorema: l’area di un triangolo è uguale al semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo tra essi compreso.
\[ A = \frac{1}{2} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{AC} \cdot \sin \alpha \]
Teorema della corda
Consideriamo una circonferenza di raggio r e una sua corda AB; il teorema sfrutta il fatto che gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, e quindi che sono descritti da una stessa corda, sono tutti congruenti fra loro.
Teorema: La lunghezza di una corda di una circonferenza è uguale al prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono su uno dei due archi determinati dalla corda stessa. \[ \overline{AB} = 2r \cdot \sin \alpha \]
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