Disequazioni omogenee in \(\sin x \) e \( \cos x \)
Vediamo alcuni esempi di equazioni omogenee in \(\sin x\) e \(\cos x\); ricordiamo che per disequazione omogenea si intende una disequazione in cui tutti i termini sono dello stesso grado.
Distinguiamo due casi, in cui il grado $n$ della disequazione è pari e quello in cui è dispari.
Vediamo alcuni esempi in cui il grado n della disequazione è dispari.
Esempio: se il grado della disequazione è uno, ci troviamo di fronte ad una equazione lineare, che è anch’essa omogenea; consideriamo la seguente disequazione:
\( \sqrt{3} \sin x – \cos x \gt 0 \)
Possiamo determinare le soluzioni della disequazione per via grafica; in questo caso, dobbiamo fare un cambio di incognita, e poniamo:
\( \cos x = X \,\,\,\, , \,\,\,\, \sin x = Y \)
Impostiamo poi un sistema per determinare i punti in cui la retta di equazione \(\sqrt{3}Y – X = 0 \) interseca la circonferenza:
\( \begin{cases}\sqrt{3}Y – X = 0 \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases} \)
Risolviamo il sistema e troviamo i punti di intersezione:
\( \begin{cases} X = \sqrt{3}Y \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} X = \sqrt{3} Y \\ (\sqrt{3}Y)^2 + Y^2 = 1 \end{cases} \rightarrow \)
\( \begin{cases} X = \sqrt{3}Y \\ 3Y^2 + Y^2 = 1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} X = \sqrt{3}Y \\ 4Y^2 = 1 \end{cases} \rightarrow \)
\( \begin{cases} X = \sqrt{3}Y \\ Y^2 = \frac{1}{4} \end{cases} \rightarrow \begin{cases} X=\sqrt{3}Y \\ Y = \pm\frac{1}{2} \end{cases} \rightarrow \)
\( Y = \frac{1}{2} \rightarrow x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( Y = -\frac{1}{2} \rightarrow x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Il punto della circonferenza goniometrica che ha coordinate \((\sqrt{3}/2 ; 1/2 )\) è l’estremo dell’arco cui corrisponde l’angolo \(\pi/6\), mentre il punto che ha coordinate \(( -\sqrt{3}/2 ; -1/2 )\) è l’estremo dell’arco cui corrisponde l’angolo \(7/6\pi\).
Ora, possiamo impostare il seguente sistema:
\( \begin{cases} \sqrt{3}Y – X \gt 0 \\ X^2+Y^2 = 1 \end{cases}\)
Possiamo determinare, in questo modo, gli archi della circonferenza che si trovano al di sopra della retta \(\sqrt{3}Y – X = 0\), e che sono quindi soluzioni della disequazione di partenza.
Rappresentiamo la situazione sulla circonferenza goniometrica:
Possiamo concludere che le soluzioni della disequazione sono date dagli angoli che appartengono al seguente intervallo:
\( \frac{\pi}{6} + 2k\pi \lt x \lt \frac{7}{6} \pi + 2k \pi \)
Esempio: Risolviamo la seguente disequazione di terzo grado:
\( \sin^3 x + \cos^3 x \gt 0 \)
Questa disequazione presenta al primo membro la somma di due cubi; ricordiamo che lo sviluppo della somma di due cubi è il seguente:
\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2+b^2-ab) \]
in particolare, abbiamo che il secondo fattore è positivo per qualunque valore di a e b; nel nostro caso, quindi, si ha:
\( (\sin x + \cos x)(\sin^2 x + \cos^2 x – \sin x \cos x) \gt 0 \)
Poiché il secondo fattore è sempre positivo, dobbiamo preoccuparci solo del primo; quindi, dobbiamo risolvere la seguente disequazione lineare:
\( \sin x + \cos x \gt 0 \)
Come abbiamo visto prima, possiamo fare un cambio di incognita ( \(X = \cos x\) e \(Y = \sin x\) ) e impostare un sistema per determinare le zone della circonferenza goniometrica che si trovano al di sopra della retta di equazione \(X + Y= 0\):
\( \begin{cases} X + Y \gt 0 \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases} \)
Riportiamo la situazione sulla circonferenza goniometrica:
Possiamo concludere che le soluzioni della disequazione sono date dal seguente intervallo:
\( -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \lt x \lt \frac{3}{4} \pi + 2k\pi \)
Esempio: Vediamo ora un esempio in cui il grado della disequazione è pari.
Consideriamo una disequazione omogenea di secondo grado:
\( \sin^2 x + \sin x \cos x \lt 0 \)
Procediamo con un raccoglimento a fattore comune:
\( \sin x (\sin x + \cos x) \lt 0 \)
In questo caso, si procede come per una normale disequazione di secondo grado; quindi, studiamo il segno di ciascun fattore, poi rappresentiamo la situazione sulla circonferenza goniometrica, dove studieremo il segno della disequazione.
Cominciamo studiando \( \sin x \gt 0\); gli intervalli della circonferenza che soddisfano questa disequazione sono tutti quelli che si trovano al di sopra dall’asse $x$, quindi:
\( 2k\pi \lt x \lt \pi + 2k\pi \)
Poi, consideriamo la disequazione \(\sin x + \cos x \gt 0\); questa disequazione va risolta come una lineare, quindi impostiamo il sistema:
\( \begin{cases} X + Y \gt 0 \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases} \)
Svolgendo i calcoli, possiamo determinare le sue soluzioni:
\( -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \lt x \lt \frac{3}{4}\pi + 2k\pi \)
Ora, riportiamo i precedenti intervalli in uno schema sulla circonferenza goniometrica, dove essi sono rappresentati con la linea colorata continua; procediamo poi con lo studio del segno.
Ricordiamoci che, poiché la disequazione di partenza è minore di zero, dobbiamo prendere gli intervalli con il segno meno.
Le soluzioni della disequazione sono quindi: \( -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \lt x \lt 2k\pi \vee \frac{3}{4}\pi + 2k\pi \lt x \lt \pi + 2k\pi \)
Che possiamo riassumere utilizzando la seguente scrittura: \( -\frac{\pi}{4} + k\pi \lt x \lt k\pi \).
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