Disequazioni goniometriche elementari
Le disequazioni goniometriche elementari si presentano con una funzione goniometrica posta maggiore, minore, maggiore o uguale, minore o uguale a un numero reale; le disequazioni goniometriche elementari, quindi, possono essere di questi tipi:
\[ \sin x \gt m\,\,\,\,\, (\sin x \ge m) \,\,\,\, , \,\,\,\, \sin x \lt m \,\,\,\,\,\, (\sin x \le m) \]
\[ \cos x \gt m\,\,\,\,\, (\cos x \ge m) \,\,\,\, , \,\,\,\, \cos x \lt m \,\,\,\,\,\, (\cos x \le m) \]
\[ \tan x \gt m\,\,\,\,\, (\tan x \ge m) \,\,\,\, , \,\,\,\, \tan x \lt m \,\,\,\,\,\, (\tan x \le m) \]
\[ \cot x \gt m\,\,\,\,\, (\cot x \ge m) \,\,\,\, , \,\,\,\, \cot x \lt m \,\,\,\,\,\, (\cot x \le m) \]
In alcuni casi, queste disequazioni possono essere risolte immediatamente; infatti, considerando che il seno e il coseno di un angolo sono sempre compresi tra -1 e 1, possiamo affermare che:
- le disequazioni del tipo \(\sin x < 2\) sono sempre soddisfatte;
- le disequazioni del tipo \(\sin x < -10\) non sono mai soddisfatte.
Negli altri casi, possiamo risolvere le disequazioni facendo riferimento alla circonferenza goniometrica, e studiando le varie parti della circonferenza che vengono individuate dall’angolo in questione.
Esempio: Risolviamo la seguente disequazione elementare:
\( \sin x \gt -\frac{1}{2} \)
Sappiamo che \(\sin x\) è l’ordinata dell’estremo dell’arco corrispondente all’angolo di ampiezza $x$, sulla circonferenza goniometrica; risolvere la disequazione significa determinare tutti gli archi aventi ordinata maggiore di $-1/2$.
Per prima cosa, consideriamo l’equazione associata \(\sin x = -1/2\); sappiamo che essa ha per soluzioni:
\( x = \frac{7}{6}\pi + 2k\pi \,\,\,\, , \,\,\,\, x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi\,\,\,\, (k\in \mathbb{Z}) \)
Le soluzioni della disequazione sono date da tutti i punti, sulla circonferenza goniometriche, che hanno ordinata maggiore delle ordinate dei punti P e Q; tali punti si trovano, quindi, al di sopra di questi punti, e gli angoli che li individuano appartengono al seguente intervallo, che costituisce le soluzioni della disequazione:
\( -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \lt x \lt \frac{7}{6}\pi + 2k\pi \,\,\,\, , \,\,\,\, (k \in \mathbb{Z}) \)
Disequazioni riconducibili a disequazioni elementari
Alcune disequazioni possono presentarsi in una forma più complessa, ma possono essere ricondotte, mediante raccoglimenti a fattore comune, o altre scomposizioni, a disequazioni elementari.
Vediamo un esempio:
Consideriamo la seguente disequazione:
\( 2\cos^2 x + \cos x – 1 \lt 0 \)
Risolviamo, per prima cosa, l’equazione associata, e individuiamo i valori di \(\cos x\) che soddisfano l’equazione:
\( 2\cos^2 x + \cos x – 1 = 0 \rightarrow \cos x = \frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1\pm 3}{4} \)
\( \cos x = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \vee \cos x = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \)
Poiché la disequazione è maggiore di zero, essa è soddisfatta per valori esterni all’intervallo delle radici:
\( \cos x \lt -1 \vee \cos x \gt \frac{1}{2} \)
Ora, sappiamo che \(\cos x \lt -1\) è impossibile, quindi le soluzioni della disequazione sono date solo dalla seconda disequazione, che è una disequazione elementare; rappresentiamo la situazione sulla circonferenza goniometrica:
Notiamo che il coseno assume il valore $1/2$ negli angoli \(\pi/3\) e \(-\pi/3\); gli angoli che soddisfano la disequazione sono quelli che individuano punti sulla circonferenza che hanno ascissa maggiore di $1/2$; le soluzioni della disequazione sono, quindi, date dal seguente intervallo:
\( -\frac{\pi}{3} + 2k \pi \lt x \lt \frac{\pi}{3} + 2k \pi \)
Disequazioni lineari in seno e coseno
Le disequazioni lineari in seno e coseno si presentano in questa forma:
\[ a\sin x + b\cos x + c \gt 0 \,\,\,\,\, , \,\,\,\,\, a\sin x + b\cos x + c \lt 0 \]
\[ a\sin x + b\cos x + c \ge 0 \,\,\,\,\, , \,\,\,\,\, a\sin x + b\cos x + c \le 0 \]
Possiamo risolvere questo tipo di equazioni in diversi modi; consideriamo, per il momento, la disequazione con il simbolo >; i ragionamenti fatti si possono applicare anche agli altri casi.
Risoluzione con il metodo grafico
Così come per le equazioni lineari, anche in questo caso si pone \(\sin x = Y\) e \(\cos x = X\), e si trovano le intersezioni della retta di equazione \(aX + by + c = 0\) con la circonferenza goniometrica.
Dopo aver determinato tali punti, si individuano i punti della circonferenza goniometrica che appartengono al semipiano \(aX + by + c \gt 0\); tali punti costituiscono le soluzioni della disequazione iniziale.
Risoluzione con i metodi algebrici
Per risolvere con metodi algebrici una disequazione lineare in seno e coseno, possiamo utilizzare due diverse strategie.
- Primo metodo: possiamo utilizzare le formule parametriche razionali, trasformando la disequazione in seno e coseno in una disequazione in \(t = \tan ( x/2 )\);
- Secondo metodo: possiamo trasformare il primo membro della disequazione nella forma e risolvere poi la disequazione elementare che ne deriva \( A \cdot \sin(x + \alpha) + B \) e risolvere poi la disequazione elementare che ne deriva.
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