Equazioni omogenee in \(sin x\) e \(\cos x\)
Le equazioni goniometriche omogenee sono caratterizzate dal fatto che i loro termini sono tutti dello stesso grado.
Ad esempio, le equazioni lineari in \(\sin x\) e \(\cos x\) sono omogenee di primo grado; mentre, equazioni omogenee di secondo grado possono essere di questo tipo: \[ a \cdot \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0 \]
Vediamo ora alcuni procedimenti che ci consentiranno di risolvere equazioni omogenee di grado n, distinguendo alcuni casi:
- se nell’equazione è presente il termine di grado $n$ in \(\sin x\), cioè se i valori \(x = \pi/2 + k\pi \) non sono soluzioni, allora si dividono entrambi i membri dell’equazione per la potenza ennesima di \(\cos x\) (diverso da zero), ottenendo un’equazione di grado $n$ in \(\tan x\), equivalente all’equazione di partenza;
- se nell’equazione è presente il termine di grado $n$ in \(\cos x\), cioè se i valori \(x = k\pi\) non sono soluzione dell’equazione, si dividono entrambi i membri dell’equazione per la potenza ennesima di \(\sin x\) (diverso da zero), ottenendo un’equazione di grado $n$ in \(cot x\), equivalente all’equazione di partenza;
- se nell’equazione non sono presenti le potenze ennesime in \(\sin x\) o in \(\cos x\), si procede operando alcuni raccoglimenti a fattore comune.
Vediamo alcuni esempi:
Esempio: Risolviamo la seguente equazione omogenea:
\( 2\sin x \cos x + \sin^2 x = 0 \)
Questa equazione è di secondo grado, e compare il termine di secondo grado in \(\sin x\); quindi, dividiamo entrambi i membri dell’equazione per \(\cos x\) al quadrato:
\( \frac{2\sin x \cos x+\sin^2 x}{\cos^x} = 0 \rightarrow \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2}+\frac{\sin^2 x}{\cos x} = 0 \)
Semplificando, otteniamo:
\( 2 \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = 0 \rightarrow 2 \tan x + \tan^2 x = 0 \)
Quindi, abbiamo un’equazione equivalente di secondo grado in \(\tan x\); determiniamo le sue soluzioni:
\( 2 \tan x + \tan^2 x = 0 \rightarrow \tan(2+\tan x) = 0 \rightarrow \)
\( \rightarrow \tan x = 0 \vee \tan x = -2 \)
\( \tan x = 0 \rightarrow x = k\pi \)
\( \tan x = -2 \rightarrow x = \arctan(-2) \)
Equazioni riducibili a omogenee
Spesso le equazioni che ci vengono proposte non sono immediatamente classificabili come omogenee, tuttavia, possiamo ricondurle ad esse attraverso alcuni passaggi.
Ad esempio, consideriamo la seguente equazione:
\[ a \cdot \sin^2 x + b \cdot \sin x\cos x + c \cdot \cos^2 x + d = 0 \]
Questa equazione non è omogenea, in quanto compare il termine noto $d$, che sappiamo essere di grado zero.
Possiamo, tuttavia, ricondurre questa equazione ad una omogenea di secondo grado moltiplicando il termine $d$ per $1$, ricordando la relazione fondamentale della goniometria:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \]
Esempio: Risolviamo la seguente equazione riconducibile ad una omogenea:
\( 2\sqrt{3}\sin^2x – 3\sin x\cos x + 3\cos^2x – \sqrt{3} = 0 \)
Moltiplichiamo il termine \(-\sqrt{3}\) per $1$:
\( 2\sqrt{3}\sin^2x – 3\sin x\cos x + 3\cos^2 x – \sqrt{3} \cdot 1 = 0 \)
\( 2\sqrt{3}\sin^2x – 3\sin x\cos x + 3\cos^2 x – \sqrt{3} \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x ) = 0 \)
\( 2\sqrt{3}\sin^2x – 3\sin x\cos x + 3\cos^2 x – \sqrt{3}\sin^2 x – \sqrt{3}\cos^2 x = 0 \)
Svolgiamo i calcoli, e sommiamo i termini simili:
\( \sqrt{3}\sin^2 x – 3\sin x \cos x + (3-\sqrt{3}) \cos^2 x = 0 \)
Procediamo risolvendo l’equazione omogenea; in questo caso, essendoci entrambi i termini si secondo grado, è indifferente la scelta del divisore:
\( \frac{\sqrt{3}\sin^2 x – 3 \sin x \cos x + (3-\sqrt{3}) \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0 \)
Otteniamo un’equazione equivalente di secondo grado in \(\tan x\):
\( \sqrt{3}\tan^2 x – 3\tan x + 3 – \sqrt{3} = 0 \)
\( \tan x = \frac{3\pm\sqrt{9-12\sqrt{3}+12}}{2\sqrt{3}} = \frac{3\pm\sqrt{21-12\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} \)
Otteniamo quindi (tramite le formule risolutive dei radicali doppi):
\( \tan x = \frac{3\pm(2\sqrt{3}-3)}{2\sqrt{3}} = \begin{cases} \frac{3+2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}} = 1 \\ \frac{3-2\sqrt{3}+3}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1 \end{cases} \)
Conoscendo i valori delle tangenti, possiamo ricavare il valore dell’angolo $x$:
\( \tan x = 1 \rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\pi \)
\( \tan x = \sqrt{3} – 1 \rightarrow x = \arctan(\sqrt{3}-1) \)
Risoluzione grafica di equazioni omogenee, o riconducibili a omogenee
Consideriamo un’equazione goniometrica omogenea di secondo grado del tipo:
\[ a \cdot \sin^2 x + b \cdot \sin x \cos x + c \cdot \cos^2 x + d = 0 \]
Ricordando le formule di duplicazione di seno e coseno, possiamo trasformare l’equazione in una equazione equivalente, lineare in \(\sin 2x \) e \(cos 2x\); ricordiamo le formule da utilizzare:
\[ \sin^x = \frac{1-\cos 2x}{2} \,\,\,\, , \,\,\,\, \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2} \,\,\,\, , \,\,\,\, \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x \]
Utilizzando queste relazioni, possiamo trasformare l’equazione omogenea di secondo grado nella seguente equazione:
\[ a \cdot \frac{1-\cos 2x}{2} + b \frac{1}{2} \sin 2x + c \frac{1-\cos 2x}{2} + d = 0\]
L’equazione, poi, può essere risolta per via grafica come abbiamo visto in precedenza per le equazioni lineari: si cercano le intersezioni della retta di equazione $aX + bY + c$ = 0 con la circonferenza goniometrica, essendo \(X = \sin 2x\) e \(Y = \cos 2x\). I punti trovati nel sistema rappresentano gli estremi degli archi cui corrispondono gli angoli che sono soluzioni dell’equazione di partenza.
Equazioni di secondo grado simmetriche in sen x e cos x
Un’equazione si secondo grado simmetrica in sen x e cos x si presenta in questa forma:
\[ a \sin x \cos x + b (\sin x + \cos x) + c = 0 \]
e viene definita simmetrica perché non muta se si scambiano \(\sin x\) e \(\cos x\).
Queste equazioni si possono risolvere ponendo \(x = y – \pi/4\); sostituendo questa scrittura a \(\sin x\) e \(\cos x\) otteniamo:
\[ \sin x = \sin\Big(y – \frac{\pi}{4}\Big) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin y – \cos y) \]
\[ \cos x = \cos\Big(y-\frac{\pi}{4}\Big) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin y + \cos y) \]
Quindi, calcoliamo la somma e il prodotto di \(\sin x\) e \(\cos x\):
\[ \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin y – \cos y)+\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos y)= \sqrt{2}\sin y \]
\[ \sin x \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin y – \cos y) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin y + \cos y)= \]
\[ =\frac{1}{2}(\sin^2 y – \cos^2 y) \]
Possiamo sostituire i valori trovati nell’equazione di partenza, e trasformare tutto in un’equazione si secondo grado in \(\sin y\), che può essere facilmente risolta:
\[ a \cdot \frac{1}{2} (\sin^2 y – \cos^2 y) + b \sqrt{2}\sin y + c = 0 \]
\[ \frac{a}{2} (2\sin^2 y – 1) + b \sqrt{2} \sin y + c = 0\]
Da cui otteniamo:
\[ a\sin^2 y + b \sqrt{2} \sin y + c – \frac{a}{2} = 0 \]
Altro materiale utile
Esercizi svolti di trigonometria
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