Equazioni lineari in sin x e cos x
Le equazioni lineari in sen x e cos x possono presentarsi in questo modo:
\[ a \sin x + b \cos x + c = 0 \,\,\,\, , \,\,\,\, a, b, c \in \mathbb{R} \]
Distinguiamo tre casi:
- \(a = 0, b \ne 0\): in questo caso, l’equazione diventa \(b \cos x + c = 0\), da cui abbiamo: \[ \cos x = -\frac{c}{b} \] che è, quindi, un’equazione elementare della forma \(\cos x = m\); come abbiamo visto in precedenza, le soluzioni di questo tipo di equazione sono date dagli angoli del tipo: \[ x = \pm \alpha + 2k\pi \] essendo \(\alpha\) una soluzione dell’equazione.
- \(a \ne 0, b = 0\): in questo caso, l’equazione diventa \(a \sin x + c = 0\), e quindi si ha: \[ \sin x = -\frac{c}{a} \] anche in questo caso, abbiamo un’equazione elementare del tipo \(\sin x = m\); come sappiamo, le soluzioni di questo tipo di equazione sono date dagli angoli del tipo: \[ x=\alpha+2k\pi \,\,\,\, \text{e}\,\,\,\, x = \pi – \alpha + 2k\pi \] essendo \(\alpha\) una soluzione dell’equazione.
- \(a \ne 0, b \ne 0\): in questo caso, non possiamo risolvere l’equazione in maniera immediate come in precedenza; vediamo, allora, alcuni procedimenti risolutivi, algebrici e grafici.
Risoluzione algebrica
Le equazioni lineari in sen x e cos x possono essere risolte ricorrendo alle formule parametriche di seno e coseno; ricordiamo, quindi, che valgono le seguenti relazioni per ogni \(x \ne \pi + 2k\pi\):
\[ \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \,\,\,\, , \,\,\,\, \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \]
essendo \(t = \tan ( x/2 )\).
Per risolvere l’equazione lineare, quindi, basta sostituire, all’equazione, \(\sin x\) e \(\cos x \) in funzione di $t$; dobbiamo risolvere la seguente equazione: \[ a \cdot \frac{2t}{1+t^2} + b \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} + c = 0 \] che, svolgendo alcuni passaggi, diventa la seguente: \[ 2at + b – bt^2 + c + ct^2 = 0 \]
Da cui otteniamo: \[ (c – b) t^2 + 2at + b + c = 0 \]
Tuttavia, i valori che abbiamo escluso in precedenza potrebbero essere soluzioni dell’equazione, e in tal caso non verrebbero trovati risolvendo l’equazione in $t$; dobbiamo, perciò, controllare se essi, sostituiti all’incognita, rendono l’equazione un’uguaglianza vera: \[ a\sin(\pi + 2k\pi) + b\cos(\pi + 2k\pi) + c = 0 \]
Questa uguaglianza risulta vera solo nel caso in cui \( b = c \).
Esempio: Risolviamo la seguente equazione lineare: \( \cos x + \sin x – 1 = 0 \)
Sostituiamo nell’equazione le formule parametriche di seno e coseno, ricordando che esse valgono per \( x \ne \pi + 2k\pi \):
\( \displaystyle \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} – 1 = 0 \)
Risolviamo l’equazione e troviamo il valore di $t$:
\( 2t + 1 – t^2 – 1 – t^2 = 0 \)
\( 2t^2 – 2t = 0 \rightarrow t(t-1) = 0 \rightarrow t = 0 \vee t = 1 \)
Sapendo che \(t = \tan (x/2)\), abbiamo che:
\( \displaystyle \tan \frac{x}{2} = 0 \vee \tan \frac{x}{2} = 1 \)
Da questa relazione, possiamo ricavare il valore di $x$:
\( \displaystyle \tan \frac{x}{2} = 0 \rightarrow \frac{x}{2} = k \pi \rightarrow x = 2k\pi \)
\( \displaystyle \tan \frac{x}{2} = 1 \rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi \rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
Controlliamo, ora, che i valori che abbiamo escluso in precedenza non siano soluzione dell’equazione:
\( \cos(\pi + 2k\pi) + \sin(\pi + 2k\pi) – 1 = 0 \)
Svolgendo i calcoli, otteniamo:
\( -1 – 1 = 0 \)
che è un’uguaglianza falsa; possiamo, quindi, concludere che questi valori di $x$ non sono soluzioni dell’equazione.
Risoluzione grafica
Sappiamo che \(\sin x\) e \(\cos x\) rappresentano l’ordinata e l’ascissa di un punto P, estremo dell’arco corrispondente all’angolo x; poniamo, quindi:
\[ \sin x = Y \,\,\,\, , \,\,\,\, \cos x = X \]
Ricordando la relazione fondamentale della goniometria, possiamo impostare un sistema di questo tipo:
\[ \begin{cases} aX + bY + c = 0 \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases} \]
Le soluzioni del sistema rappresentano i punti di intersezione della circonferenza goniometrica con la retta di equazione \(aX + bY + c = 0\); una volta che abbiamo trovato questi punti, che corrispondono al seno e al coseno all’angolo x, possiamo facilmente ricavare $x$.
Esempio: Risolviamo per via grafica l’equazione dell’esempio precedente: \( \cos x + \sin x – 1 = 0 \)
Poniamo \(\cos x = X\) e \(\sin x = Y\), e impostiamo il sistema:
\( \begin{cases} X + Y – 1 = 0 \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases} \)
Risolviamo il sistema con il metodo della sostituzione:
\( \begin{cases} X = -Y + 1 \\ X^2 + Y^2 = 1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} X = -Y + 1 \\ (-Y+1)^2 + Y^2 = 1 \end{cases} \)
\( \begin{cases} X = -Y + 1 \\ Y^2 + 1 – 2Y + Y^2 = 1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} X = -Y + 1 \\ Y^2 – Y = 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} X = -Y + 1 \\ (Y-1) Y = 0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} X = -Y + 1 \\ Y = 0 \vee Y = 1 \end{cases} \)
Troviamo i rispettivi valori di $X$:
\( \begin{cases} X = 1 \vee X = 0 \\ Y = 0 \vee Y = 1 \end{cases} \)
Notiamo che questi punti rappresentano i punti di intersezione della circonferenza goniometrica con la retta di equazione $X + Y -1 = 0$: I punti $A (1 ; 0)$ e $B(0 ; 1)$ sono gli estremi degli archi:
\( x = 2k\pi \,\,\,\, \text{e} \,\,\,\, x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)
Che rappresentano pertanto le soluzioni dell’equazione.
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