Identità
Un’identità goniometrica è un’uguaglianza tra due espressioni contenenti funzioni goniometriche di uno o più angoli, che sia verificata per qualunque valore attribuito agli angoli, esclusi al più i valori per cui l’espressione perde significato.
In determinate tipologie di esercizi, occorre verificare se un’identità goniometrica è verificata, e per farlo si sfruttano le relazioni fondamentali conosciute.
Esempio: verifichiamo la seguente identità:
\( \cos^3 x + \sin^2 x \cos x + 3 \cos x = 4 \cos x \)
Possiamo operare sul primo membro dell’identità, sfruttando la relazione fondamentale della goniometria:
\( \cos^3 x + (1-\cos^2 x)\cos x + 3 \cos x = 4 \cos x \)
Svolgiamo i calcoli:
\( \cos^3 x + \cos x – \cos^3 x + 3\cos x = 4 \cos x \)
Otteniamo quindi:
\( \cos x + 3 \cos x = 4 \cos x \)
Da ciò, possiamo affermare che l’identità è verificata.
Equazioni
Un’equazione goniometrica è un’uguaglianza tra due espressioni contenenti funzioni goniometriche di uno o più angoli, che è verificata solo per particolari valori attribuiti agli angoli.
Così come per le equazioni in x, anche per quelle goniometriche si definisce soluzione ogni valore che, sostituito all’incognita, rendo il primo membro uguale al secondo.
Un’equazione goniometrica si dice impossibile quando non ha soluzioni.
Vediamo alcuni esempi di equazioni goniometriche.
L’equazione \(\sin x = m\)
Sapendo che il seno di un angolo è sempre compreso tra – 1 e 1, possiamo affermare che l’equazione ammette soluzioni se e solo se:
\( -1 \le m \le 1 \)
cioè, \(|m| \le 1\).
Se questa condizione è soddisfatta, esiste un angolo $a$ tale che \(\sin a = m\). Per le proprietà del seno, sappiamo che \(\sin x = \sin (\pi – x)\), quindi esisterà anche un angolo di ampiezza \(\pi – a\) tale che \(\sin (\pi – a) = m\).
Inoltre, sono soluzione anche tutti gli angolo che si ottengono da $a$ e \(\pi – a\) aggiungendo multipli di \(2\pi\); concludiamo che le soluzioni dell’equazione sono tutti gli angoli della forma:
\(x = \alpha + 2k\pi \,\,\,\, , \,\,\,\, k \in \mathbb{Z} \)
\(x = \pi – \alpha + 2k\pi \,\,\,\, ,\,\,\, k \in \mathbb{Z} \)
L’equazione \(\cos x = m\)
Anche il coseno di un angolo è sempre compreso tra – 1 e 1, possiamo affermare che l’equazione ammette soluzioni se e solo se:
\( -1 \le m \le 1 \)
cioè, \(|m| \le 1\).
Se questa condizione è soddisfatta, esiste un angolo $a$tale che \(\cos a = m\). Per le proprietà del coseno, sappiamo che \(\cos x = \cos (- x)\), quindi, se $a$ è soluzione dell’equazione, lo è sicuramente anche \(-a\).
Le soluzioni dell’equazione sono, quindi, tutti gli angoli della forma:
\( x = \alpha + 2k\pi \,\,\,\, , \,\,\,\, k \in \mathbb{Z} \)
\( x = -\alpha + 2k\pi \,\,\,\, , \,\,\,\, k \in \mathbb{Z} \)
L’equazione \(\tan x = m\)
Questa equazione ammette soluzioni per qualsiasi valore reale di $m$, quindi se il valore a è soluzione dell’equazione, cioè si ha \(\tan a = m\), le soluzioni dell’equazione sono tutti gli angoli del tipo:
\( x = \alpha + k\pi \,\,\,\, k \in \mathbb{Z} \)
Esercizio proposto
Trova tutti gli angoli che verificano la seguente equazione goniometrica: \(\sin^2 x + 3\cos x = 1 + \cos^2 x\)
Trovi la soluzione dell’esercizio nella sezione Esercizi svolti di trigonometria del sito.
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