La funzione arcoseno
Consideriamo l’equazione \(\sin x = m\); come abbiamo visto prima, le soluzioni dell’equazione sono tutti gli angoli del tipo
\[ x = \alpha + 2k\pi\,\,\,\, k \in \mathbb{Z} \]
\[ x = \pi – \alpha + 2k\pi\,\,\,\, k \in \mathbb{Z} \]
Quindi, se $x$ è soluzione dell’equazione, $x$ si definisce arcoseno di $m$, o seno inverso di $m$, e si indica \(x = \arcsin m\). Sappiamo, inoltre, che il valore di $x$ è sempre compreso tra \(-\pi/2 \) e \(\pi/2\); per la funzione arcoseno valgono le seguenti relazioni:
\[ \arcsin(\sin x) = x \,\,\,\, , \,\,\,\, -\frac{\pi}{2}\le x \le \frac{\pi}{2} \]
\[ \sin(\arcsin x) = x \,\,\,\, , \,\,\,\, -1 \le x \le 1 \]
La funzione arcocoseno
Consideriamo l’equazione \(\cos x = m\); come abbiamo visto in precedenza, le soluzioni dell’equazione sono tutti gli angoli, compresi tra $0$ e \(\pi\), del tipo:
\[ x = \alpha + 2k\pi \,\,\,\, , \,\,\,\, k \in \mathbb{Z} \]
\[ x = -\alpha + 2k\pi \,\,\,\, , \,\,\,\, k \in \mathbb{Z} \]
Se $x$ è soluzione dell’equazione, esso si definisce arcocoseno di $m$, o anche coseno inverso di $m$, e si indica \(x = \arccos m\).
Per l’arcocoseno di un angolo, valgono le seguenti proprietà:
\[ \arccos(\cos x) = x \,\,\,\ , 0 \le x \le \pi \]
\[ \cos(\arccos x) = x \,\,\,\, -1 \le x \le 1 \]
Inoltre, per le funzioni arcoseno e arcocoseno, vale la seguente relazione:
\[ \arccos x = \frac{\pi}{2} – \arcsin x \,\,\,\, \forall x \in [-1 ; 1 ] \]
La funzione arcotangente
Così come per le funzioni arcoseno e arcocoseno, anche nel caso dell’equazione \( \tan x = m\), possiamo affermare che un angolo $x$ che è soluzione dell’equazione si definisce arcotangente di m, o tangente inversa di m, e si indica con \(x = \arctan m\).
Questo valore di x deve essere sempre compreso tra \( -\pi/2 \) e \( \pi/2 \).
Le proprietà della funzione arcotangente sono le seguenti:
\[ \arctan(\tan x) = x \,\,\,\, , \,\,\,\, -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} \]
\[ \tan(\arctan x) = x \,\,\,\, , \,\,\,\, \forall x \in \mathbb{R} \]
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