Similitudine
Una similitudine \(\Sigma\) è un’affinità tra punti del piano che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti, cioè se AB, A’B’ e CD, C’D’ sono due coppie qualsiasi di segmenti corrispondenti, si ha che:
\[ \frac{A’B’}{AB} =\frac{C’D’}{CD} = k\]
Formule analitiche
Anche nel caso della similitudine, abbiamo delle formule analitiche che descrivono la trasformazione; dobbiamo distinguere, però, il caso in cui si abbia una similitudine diretta, e una similitudine inversa.
Abbiamo le seguenti equazioni nel caso della similitudine diretta:
\[ \Sigma: \begin{cases} x’=ax-by+p \\ y’=bx+ay+q \end{cases} \]
E la matrice dei coefficienti A ha determinante positivo, infatti:
\[ \mbox{det}(A) = \mbox{det}\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a\end{pmatrix} = a^2+b^2 \gt 0 \]
Nel caso della similitudine indiretta, invece, abbiamo le seguenti equazioni:
\[ \Sigma: \begin{cases} x’=ax-by+p \\ y’=bx-ay+q \end{cases} \]
E, in questo caso, la matrice A dei coefficienti ha determinante negativo, infatti abbiamo:
\[ \mbox{det}(A) = \mbox{det}\begin{pmatrix} a & b \\ b & -a\end{pmatrix} = -a^2-b^2 \lt 0 \]
Il rapporto costante tra segmenti corrispondenti è detto rapporto di similitudine, ed è dato dalla seguente formula:
\[ k = \sqrt{a^2+b^2} \]
Possiamo notare che le isometrie sono particolari similitudini di rapporto k = 1; in particolare, le traslazioni e le rotazioni sono similitudini dirette, mentre la simmetria assiale è una similitudine indiretta.
Proprietà
Una similitudine ha le stesse proprietà di un’affinità, e inoltre, è una trasformazione che trasforma:
- triangoli in triangoli simili;
- rette perpendicolari in rette perpendicolari;
- circonferenze in circonferenze.
Inoltre, se F e F’ sono due figure corrispondenti nella similitudine di rapporto k, allora abbiamo che:
- il perimetro di F’ è uguale al perimetro di F moltiplicato per la costante k;
- l’area di F’ è uguale all’area di F moltiplicata per il quadrato della costante k.
Omotetia
Consideriamo un punto C del piano e un numero reale k non nullo. Si definisce omotetia di centro C e rapporto a la corrispondenza biunivoca tra punti del piano che ad ogni punto P fa corrispondere in modo univoco il punto P’, in modo che:
\[ \vec{CP’} = a \vec{CP} \]
In particolare, possiamo notare che:
- se \(a \gt 0\) i punti P e P’ sono dalla stessa parte rispetto al punto C;
- se \(a \lt 0\) i punti P e P’ sono dalla parte opposta rispetto al punto C.
Vediamo ora cosa caratterizza un’omotetia in casi particolari:
- se $a = 1$ abbiamo che ad ogni punto P del piano corrisponde se stesso, quindi, l’omotetia è un’identità; inoltre, possiamo dire che tutti i punti del piano sono punti uniti;
- se $a = -1$ ad ogni punto P del piano corrisponde il suo simmetrico rispetto al punto C, e l’omotetia si trasforma quindi in una simmetria centrale di centro C;
- se \(| a | \gt 1\) si ha una dilatazione;
- se \(0 \lt | a | \lt 1\) si ha una contrazione;
- se \(a \ne 1\) l’unico punto unito è il centro C e ogni retta passante per C si trasforma in se stessa, ed è quindi unita anch’essa.
L’inversa di un’omotetia di centro C e rapporto a è un’omotetia di centro C e rapporto \(1/a\):
\[ \omega_{C,a}^{-1} = \omega_{C,\frac{1}{a}} \]
Formule analitiche
Consideriamo un punto del piano \(P(x; y)\) e il suo corrispondente \(P'(x’; y’) \) derivato dall’omotetia di centro \(C(x_0; y_0)\). Se $a$ è il rapporto dell’omotetia, le formule analitiche che la descrivono sono le seguenti:
\[ \omega_{C,a}: \begin{cases} x’=a(x-x_0)+x_0 \\ y’=a(y-y_o)+y_0 \end{cases} \]
In particolare, le equazioni possono essere scritte in questa forma:
\[ \omega_{C,a}: \begin{cases} x’=ax+h \\ y’=ay+k \end{cases} \]
dove possiamo osservare che l’omotetia è un caso particolare di similitudine; la matrice associata, infatti, è la seguente:
\[ A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix} \,\,\,\, , \,\,\,\, \mbox{det}(A) = a^2 \]
Poiché il determinante della matrice associata è sempre positivo, se a è diverso da zero, possiamo affermare che l’omotetia è una similitudine diretta.
Composizione di omotetie aventi lo stesso centro
Consideriamo due omotetie di centro \(C(x_0; y_0)\), e di rapporti $k_1$ e $k_2$; la loro composizione è data da:
\[ \omega_{C,k} =\omega_{C,k_2} \ast \omega_{C, k_1}\]
e il rapporto della loro composizione è dato dal prodotto dei rapporti delle omotetie di partenza: \(k = k_1 \cdot k_2\)
In particolare, la composizione di omotetie gode della proprietà commutativa, in quanto si ha che:
\[\omega_{C,k} =\omega_{C,k_2} \ast\omega_{C,k_1} =\omega_{C,k_1} \ast\omega_{C,k_2}\]
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