Dilatazioni e compressioni
Dilatazioni e compressioni lungo l’asse x
Una dilatazione o compressione di rapporto k lungo l’asse x è un’affinità che presenta le seguenti equazioni:
\[ D_{x,k} : \begin{cases} x’ = kx \\ y’=y\end{cases} \,\,\,,\,\, k \ne 0 \]
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La matrice associata a una dilatazione o ad una compressione lungo l’asse x ha determinante uguale a k, ed è la seguente:
\[ A = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \,\,\, , \,\,\, \mbox{det}(A) = k \]
In base al valore di k, possiamo distinguere diversi casi:
- se \(| k | \gt 1\) si ha una dilatazione lungo l’asse x;
- se \(| k | \lt 1\) si ha una compressione lungo l’asse x;
- se $k = 1$ si ha l’identità;
- se $k = -1$ si ha una simmetria rispetto all’asse y.
Se la dilatazione, o compressione, ha rapporto k, la trasformazione inversa ha rapporto 1/k:
\[ D_{x,k}^{-1} = D_{x,\frac{1}{k}} \]
In particolare, queste trasformazioni mandano in se stessi tutti i punti dell’asse y e tutti i punti delle rette parallele all’asse x, che sono pertanto punti e rette uniti.
Dilatazioni e compressioni lungo l’asse y
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Una dilatazione o compressione di rapporto k lungo l’asse y è un’affinità che presenta le seguenti equazioni:
\[ D_{x,k}: \begin{cases} x’=x \\ y’=ky \end{cases} \,\,\, , \,\,\, k \ne 0 \]
Anche la matrice associata a una dilatazione o ad una compressione lungo l’asse y ha determinante uguale a k, ed è la seguente:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \,\,\, ,\,\,\, \mbox{det}(A) = k \]
In questo caso, se $k = -1$ si ha una simmetria rispetto all’asse x.
La trasformazione inversa di una compressione o dilatazione di rapporto k ha rapporto 1/k:
\[ D_{y,k}^{-1} = D_{y,\frac{1}{k}} \]
Tutti i punti dell’asse x sono punti uniti, e tutte le rette parallele all’asse y sono rette unite.
Esempio: Consideriamo la funzione \( y = \sin x\). Se apportiamo modifiche al coefficiente di x, otteniamo una dilatazione.
Infatti, la funzione \(y = \sin (x/2) \) è una sinusoide con periodo maggiore rispetto a \(y = \sin x\).
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Mentre, invece, se apportiamo modifiche alla y, cioè se modifichiamo il coefficiente di sen x, otteniamo una compressione.
Ad esempio, consideriamo la funzione \(y = -1/2 \sin x\); notiamo che essa risulta essere compressa rispetto a \(y = \sin x\); ha stesso periodo, ma ampiezza minore.
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Inclinazioni
Inclinazioni lungo l’asse x
Si definisce inclinazione lungo l’asse x di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere ad ogni punto ( x ; y ) del piano il punto che ha la stessa ordinata y e ascissa incrementata proporzionalmente all’ordinata y.
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Le equazioni di un’inclinazione lungo l’asse x sono le seguenti:
\[ I_{x,k}: \begin{cases} x’=x+ky \\ y’=y \end{cases} \]
La matrice associata alle equazioni è la matrice A, che ha determinante uguale a 1:
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \,\,\, , \,\,\, \mbox{det}(A) = 1 \]
Questo tipo di trasformazioni mandano in se stessi tutti i punti dell’asse x e tutte le rette parallele all’asse x, che sono pertanto punti e rette unite.
Se la trasformazione ha coefficiente k, la sua inversa ha coefficiente – k:
\[ I_{x,k}^{-1} = I_{x,-k} \]
Inclinazioni lungo l’asse y
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Si definisce inclinazione lungo l’asse y di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere ad ogni punto ( x ; y ) del piano il punto che ha la stessa ascissa x e ordinata incrementata proporzionalmente all’ascissa x.
Le equazioni di un’inclinazione lungo l’asse y sono le seguenti:
\[ I_{y,k}: \begin{cases} x’=x \\ y’=y+kx \end{cases} \]
La matrice associata alle equazioni è la matrice A, che ha determinante uguale a 1:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix} \,\,\, , \,\,\, \mbox{det}(A) = 1 \]
Queste trasformazioni mandano in se stessi tutti i punti dell’asse y e tutte le rette parallele all’asse y, che sono pertanto punti e rette unite.
Se la trasformazione ha coefficiente k, la sua inversa ha coefficiente – k, e si ha:
\[ I_{y,k}^{-1} = I_{y,-k} \]
In entrambi i casi, poiché il determinante della matrice associata alle equazioni è uguale a 1, le inclinazioni trasformano una figura F in una figura F’ ad essa equivalente.
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