Definizione e proprietà
Se $x$ è un numero reale, definiamo in questo modo il suo valore assoluto:
\[ |x| = \begin{cases} x & \mbox{se } x \ge 0 \\ -x & \mbox{se } x \lt 0 \end{cases} \]
Il numero reale $x$ viene definito argomento del modulo o del valore assoluto.
Possiamo estendere la definizione di valore assoluto al caso in cui l’argomento sia una generica espressione letterale, che indichiamo con $f(x)$:
\[ |f(x)| = \begin{cases} f(x) & \mbox{se } f(x) \ge 0 \\ -f(x) & \mbox{se } f(x) \lt 0 \end{cases} \]
Il valore assoluto di un numero, quindi, è sempre una quantità positiva, o nulla nel caso in cui l’argomento sia zero; deduciamo, quindi, che i numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto.
Quindi, due numeri hanno lo stesso valore assoluto se sono uguali o se sono opposti:
\[ |x| = |y| \Leftrightarrow x = y \vee x = -y \]
Se $x$ e $y$ sono due numeri reali, si possono verificare le seguenti proprietà:
\[ |x| \cdot |y| = |x \cdot y| \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, |x+y| \le |x| + |y| \]
\[ \frac{|x|}{|y|} = \Big|\frac{x}{y}\Big| \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, |x-y| \ge |x| – |y| \]
Risoluzione di equazioni e disequazioni con valore assoluto
Risoluzione immediata
Utilizzando la definizione, possiamo risolvere alcuni tipi di equazioni e disequazioni con valore assoluto in maniera immediata.
Vediamo alcuni esempi:
- equazioni del tipo \( |p(x)| = a\)
sapendo che due numeri reali hanno lo stesso modulo se sono uguali, o se sono opposti, l’equazione può essere risolta ponendo:
\( p(x) = \pm a \rightarrow p(x) = a \vee p(x) = -a \)
- equazioni del tipo \( |p(x)| = |q(x)| \)
possono essere risolte con lo stesso principio enunciato precedentemente:
\( p(x) = \pm q(x) \rightarrow p(x) = q(x) \vee p(x) = -q(x) \)
- equazioni del tipo: \( |p(x)| = 0 \)
un valore assoluto è uguale a zero solo se il suo argomento è zero, quindi poniamo
\( p(x) = 0 \)
- disequazioni del tipo \( |p(x)| \lt 0 \) sono impossibili, perché il modulo di un numero non può mai essere un numero negativo;
- disequazioni del tipo \( |p(x)| \le 0 \) hanno come uniche soluzioni quelle date da \( p(x) = 0 \)
- disequazioni del tipo \( |p(x)| \ge 0 \) e \( |p(x)| \ge -a \) (con $a$ positivo) sono verificate per qualunque valore di $x$, poiché il valore assoluto di un numero è sempre positivo;
Risoluzione di equazioni con valori assoluti
Vediamo un esempio di equazione in cui figura un solo valore assoluto: \( |x-2| = 3x + 2 \)
Secondo la definizione di valore assoluto, abbiamo che:
\(\displaystyle |x-2| = \begin{cases} x+2 & \mbox{se } x+2 \ge 0 \\ -(x+2) & \mbox{se } x+2 \lt 0 \end{cases} \)
per risolvere questa equazione, dobbiamo risolvere i seguenti due sistemi:
\( \begin{cases} x+2 \ge 0 \\ x+2=3x+2 \end{cases} \,\,\,\, \vee \,\,\,\, \begin{cases} x+2 \lt 0 \\ -(x+2)=3x+2 \end{cases} \)
risolviamo i due sistemi, tenendo presente che sono sistemi misti, cioè in cui compare una equazione e una disequazione:
\( \begin{cases} x \ge -2 \\ x-3x=2-2 \end{cases} \,\,\,\, \vee \,\,\,\, \begin{cases} x \lt -2 \\ -x -3x = 2+2 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x \ge -2 \\ -2x = 0 \end{cases} \,\,\,\, \vee \,\,\,\, \begin{cases} x \lt -2 \\ -4x = 4 \end{cases} \)
La soluzione è quindi $x=0$ dal primo sistema, in quanto il secondo sistema è impossibile.
Vediamo ora un altro esempio in cui nell’equazione compaiono due valori assoluti: \( |x+4| = 5 – |2x+5| \)
Cominciamo studiando il segno degli argomenti dei valori assoluti; abbiamo:
\( x+4 \gt 0 \rightarrow x \gt -4 \)
\( 2x + 5 \gt 0 \rightarrow x \gt -\frac{5}{2} \)
Rappresentiamo la situazione in uno schema: le linee tratteggiate rappresentano i tratti in cui l’argomento è negativo, mentre le linee piene il tratto in cui è positivo; diamo un nome a ciascun intervallo:
Per ogni intervallo individuato dobbiamo risolvere un sistema, in cui avremmo una disequazione, data dall’intervallo in cui ci troviamo, e un’equazione in cui gli argomenti dei valori assoluti assumeranno il segno che hanno in quell’intervallo:
Cominciamo dal primo intervallo:
\( S_1: \begin{cases} x \lt -4 \\ -(x+4) = 5 – (-2x -5) \end{cases} \)
risolviamo il sistema:
\( \begin{cases} x \lt -4 \\ -x -4 = 5 + 2x + 5 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} x \lt -4 \\ -3x = 14 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x \lt -4 \\ -x -2x = 5 + 5 + 4 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases}x \lt -4 \\ x = -\frac{14}{3} \end{cases} \)
concludiamo quindi che: \( S_1: x = -\frac{14}{3} \)
Passiamo al secondo intervallo:
\( S_2: \begin{cases} -4 \le x \lt -\frac{5}{2} \\ x+4 = 5-(-2x-5) \end{cases} \)
risolviamo il secondo sistema:
\( \begin{cases} -4 \le x \lt -\frac{5}{2} \\ x+4 = 5+2x +5 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} -4 \le x \lt -\frac{5}{2} \\ -x = 6 \end{cases} \)
\( \begin{cases} -4 \le x \lt -\frac{5}{2} \\ x -2x = 5+5-4 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} -4 \le x \lt -\frac{5}{2} \\ x = -6 \end{cases} \)
La soluzione dell’equazione non soddisfa la disequazione, quindi concludiamo:
\( S_2 = \varnothing \)
Passiamo al terzo e ultimo sistema:
\( S_3: \begin{cases} x \ge -\frac{5}{2} \\ x + 4 = 5 – (2x+5) \end{cases} \)
risolviamolo:
\( \begin{cases} x\ge -\frac{5}{2} \\ x+4 = 5-2x -5 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} x \ge -\frac{5}{2}\\ 3x = -4 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x \ge -\frac{5}{2} \\ x+2x = 5-5-4 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} x \ge -\frac{5}{2} \\ x = -\frac{4}{3} \end{cases} \)
la soluzione dell’equazione è accettabile, quindi concludiamo:
\( S_3: x = -\frac{4}{3} \)
Le soluzioni dell’equazione di partenza sono date dall’unione delle soluzioni di tutti gli intervalli, quindi avremmo che:
\( S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 = \Big\{-\frac{4}{3}; -\frac{14}{3} \Big\} \)
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