Disequazioni della forma \( |f(x) \lt k \) con \( k \gt 0 \)
Consideriamo il caso in cui l’argomento della valore assoluto sia $x$: \( |x| \lt k \)
sapendo che $k$ è un numero positivo, possiamo affermare che $x$ può assumere tutti i valori che sono compresi tra $0$ e $k$; ma poiché due numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto, anche i valori compresi tra $-k$ e $0$ soddisfano l’equazione.
Possiamo quindi affermare che, essendo $k$ un generico numero positivo, le soluzioni sono date dai valori di $x$ compresi tra $-k$ e $k$:
\[ |x| \lt k \Leftrightarrow -k \lt x \lt k\,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]
La stessa regola vale per \( |x| \le k \):
\[ |x| \le k \Leftrightarrow -k \le x \le k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]
Possiamo generalizzare la regola precedente, considerando al posto di $x$ una generica espressione contenente $x$:
\[ |f(x)| \lt k \Leftrightarrow -k \lt f(x) \lt k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]
\[ |f(x)| \le k \Leftrightarrow -k \le f(x) \le k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]
In particolare, l’espressione \( -k \lt f(x) \lt k \) si traduce nel seguente sistema:
\[ \begin{cases} f(x) \lt k \\ f(x) \gt -k \end{cases} \]
Esempio
Consideriamo la seguente disequazione con valore assoluto: \( |2x -3| \lt 5 \)
applicando la regola vista in precedenza, abbiamo che:
\( -5 \lt 2x -3 \lt 5 \)
quindi, le soluzioni della disequazione sono date dal seguente sistema:
\( \begin{cases} 2x – 3 \lt 5 \\ 2x – 3 \gt -5 \end{cases} \)
risolviamo il sistema:
\( \begin{cases} 2x \lt 5 + 3 \\ 2x \gt -5 + 3 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} 2x \lt 8 \\ 2x \gt -2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x \lt 4 \\ x \gt -1 \end{cases} \)
Concludiamo che le soluzioni della disequazione sono date dall’intervallo:
\( S: -1 \lt x \lt 4 \)
Disequazioni della forma \( |f(x)| \gt k \) con \( k \gt 0 \)
Consideriamo il caso in cui l’argomento del valore assoluto sia semplicemente $x$: \( |x| \gt k \)
possiamo notare che i valori di $x$ maggiori a $k$ verificano sicuramente la disequazione; ma poiché numeri opposti hanno lo stesso valore assoluto, sicuramente anche i valori di $x$ minori di $-k$ soddisferanno la disequazione.
In generale, quindi, essendo $k$ un generico numero positivo, le soluzioni della disequazione sono dati dai valori di $x$ maggiori di $k$ e minori di $-k$:
\[ |x| \gt k \Leftrightarrow x \lt -k \vee x \gt k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]
\[ |x| \ge k \Leftrightarrow x \le -k \vee x \ge k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]
Possiamo estendere questa affermazione al caso in cui, al posto di $x$, vi sia un’espressione contenente $x$:
\[ |f(x)| \gt k \Leftrightarrow f(x) \lt -k \vee f(x) \gt k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]
\[ |f(x)| \ge k \Leftrightarrow f(x) \le -k \vee f(x) \ge k \,\,\,\, \mbox{con } k \gt 0 \]
Notiamo che dobbiamo risolvere due disequazioni per trovare le soluzioni della disequazione di partenza ma, in questo caso, a differenza di prima, non dobbiamo metterle a sistema, ma dobbiamo unire le loro soluzioni.
Esempio
Risolviamo la seguente disequazione con valore assoluto: \( |1+2x| \gt 5 \)
applicando la regola vista in precedenza, abbiamo che:
\( 1+2x \lt -5 \vee 1+2x \gt 5 \)
Risolviamo le due disequazioni una alla volta; cominciamo dalla prima:
\( 1+2x \lt -5 \)
\( 2x \lt -5 – 1 \)
\( 2x \lt -6 \rightarrow x \lt -3 \)
passiamo ora alla seconda:
\( 1+2x \gt 5 \)
\( 2x \gt 5 – 1 \)
\( 2x \gt 4 \rightarrow x \gt 2 \)
Le soluzioni della disequazione di partenza sono date dall’unione delle soluzioni delle due disequazioni precedenti:
\( S: (\infty; -3) \cup (2; +\infty) \)
Disequazioni con valori assoluti
Nel caso in cui non fosse possibile ricondurre una disequazione alle forme viste precedentemente, la disequazione va risolta studiando il degno dell’argomento; o nel caso in cui compiano, all’interno della disequazione, due o più valori assoluti, dobbiamo risolvere la disequazione studiando il segno degli argomenti, e risolvere i sistemi relativi ad ogni intervallo.
Vediamo alcuni esempi.
Cominciamo con una disequazione in cui compare un solo valore assoluto: \( |x-3| \gt 5 -3x \)
Dalla definizione di valore assoluto, abbiamo i seguenti due sistemi:
\( \begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x-3 \gt 5-3x \end{cases} \,\,\,\, \vee \,\,\,\, \begin{cases} x-3 \lt 0 \\ -(x-3) \gt 5 – 3x \end{cases} \)
Risolviamo il primo:
\( \begin{cases} x\ge 3 \\ x+3x \gt 5+3 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x\ge 3 \\ 4x \gt 8 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x\ge 3 \\ x \gt 2 \end{cases} \)
la soluzione del sistema è l’intervallo \([3; +\infty)\);
Risolviamo ora il secondo:
\( \begin{cases} x \lt 3 \\ -x+3 \gt 5-3x \end{cases}\rightarrow \begin{cases} x \lt 3 \\ -x+3x \gt 5-3 \end{cases} \rightarrow \)
\( \rightarrow \begin{cases} x \lt 3 \\ 2x \gt 2 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x \lt 3 \\ x \gt 1 \end{cases} \)
La soluzione del sistema è il seguente intervallo: \((1; 3)\).
Le soluzioni della disequazione sono date dall’unione delle soluzioni dei due sistemi: \((1; 3) \cup [3;+\infty)\);
quindi, la soluzione del sistema è l’intervallo \((1; +\infty)\) .
Vediamo ora un esempio in cui abbiamo due valori assoluti; risolviamo la seguente disequazione: \( |2x+4|+|x+1|-3x+1 \gt 0\)
Cominciamo studiando il segno degli argomenti e riportando lo studio in un grafico, in cui individuiamo i tre intervalli:
\( 2x – 4 \gt 0 \rightarrow x \gt 2 \)
\( x+1 \gt 0 \rightarrow x \gt -1 \)
Impostiamo il primo sistema: nel primo intervallo entrambi gli argomenti sono negativi:
\( S_1: \begin{cases}x \lt -1 \\ -(2x-4)-(x+1)-3x+1 \gt 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} x \lt -1 \\ -6x \gt 4 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x \lt -1 \\ x \lt \frac{2}{3}\end{cases} \)
La soluzione di questo primo sistema è l’intervallo \((-\infty; -1)\) ;
\( S_1: (-\infty; -1)\)
risolviamo il secondo sistema; nel secondo intervallo il primo argomento è positivo, mentre il secondo è negativo:
\( S_2: \begin{cases} -1 \le x \lt 2 \\ -(2x-4) + x + 1 – 3x + 1 \gt 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} -1 \le x \lt 2 \\ -2x+4+x+1-3x+1 \gt 0 \end{cases} \)
\( \begin{cases} -1 \le x \lt 2 \\ -4x \gt -6 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} -1 \le x \lt 2 \\ x \lt \frac{3}{2} \end{cases} \)
Le soluzioni del secondo sistema sono:
\( S_2: \Big[-1; \frac{3}{2} \Big) \)
Passiamo al terzo sistema; nel terzo intervallo entrambi gli argomenti sono positivi:
\( S_3: \begin{cases} x\ge 2 \\ 2x-4+x+1-3x+1 \gt 0 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} x\ge 2 \\ 0 \cdot x \gt 2 \end{cases} \)
Il sistema è impossibile, quindi abbiamo
\( S_3: \varnothing \)
Sapendo che le soluzioni della disequazione iniziale sono date dall’unione di tutti gli intervalli che sono soluzione dei sistemi precedenti, abbiamo che:
\( S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 = (-\infty; -1) \cup \Big[-1; \frac{3}{2} \Big) \cup \varphi = \Big(-\infty; \frac{3}{2} \Big) \)
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