Esempi di studio di funzione

Funzione razionale intera

Studiamo la funzione di equazione \( f(x) = x^3 + 2x^2 – 3 \)

1. Per prima cosa, notiamo che la funzione, come tutte le funzioni razionali intere, è definita in tutto l’asse reale, quindi il suo dominio coincide con \(\mathbb{R}\);
2. Cerchiamo di capire se la funzione presenta simmetrie. Poiché si ha: \[ f(-x) = (-x)^3 + 2(-x)^2 – 3 = -x^3 +2x^2 – 3 \]  possiamo concludere che la funzione non presenta simmetrie, e quindi, non è né pari né dispari;
3. Determiniamo le intersezioni della funzione con gli assi cartesiani, e risolviamo i seguenti sistemi: \[ \begin{cases} y=x^3+2x^2-3 \\ y=0 \end{cases} \,\,\,\, ; \,\,\,\, \begin{cases}y=x^3+2x^2-3 \\ x=0 \end{cases} \] dai quali abbiamo i punti di intersezione $(0;-3)$ e $(1;0)$;
4. Studiamo ora il segno della funzione, determinando gli intervalli in cui essa è positiva; risolviamo, quindi, la seguente disequazione: \[ x^3 + 2x^2 -3 \gt 0 \] La disequazione è verificata per \(x \gt 1\), quindi possiamo affermare che in questo intervallo si ha \(f(x) \gt 0\); al contrario, per \( x \lt 1\), si ha \( f(x) \lt 0 \);
5. Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione. Studiamo il limite per x che tende a più o meno infinito: \[ \lim_{x \rightarrow +\infty} (x^3+2x^2-3) = +\infty \] \[ \lim_{x \rightarrow -\infty} (x^3+2x^2-3) = -\infty \] La funzione, quindi, non ammette asintoti orizzontali, in quanto entrambi i limiti precedenti sono infiniti. Inoltre, poiché la funzione è definita in tutto \(\mathbb{R}\), non può avere asintoti verticali. Possiamo, però, ricercare gli asintoti obliqui; studiamo, quindi, il seguente limite per determinare l’eventuale coefficiente angolare dell’asintoto:  \[ m=\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^3+2x^2-3}{x} = +\infty \] Dato che il limite precedente è infinito, la funzione non ha neanche asintoti obliqui;
6. Calcoliamo la derivata della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti stazionari: \[ f'(x) = 3x^2+4x \] Risolviamo quindi la seguente equazione: \[ f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 + 4x = 0 \] Dalle soluzioni della disequazione, possiamo determinare due punti stazionari, che hanno ascisse: \[x_1 = 0, x_2 = -\frac{4}{3} \] Studiando il segno della derivata prima, troviamo i seguenti intervalli, nei quali la funzione è crescente: \[ x \lt -\frac{4}{3} \vee x \gt 0 \]
7. Determiniamo la derivata seconda della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti di flesso: \[ f”(x)  = 6x+4 \] Risolviamo la seguente equazione: \[ f”(x) = 0 \Rightarrow 6x+4=0 \] Da cui otteniamo il punto di ascissa \(-2/3\). Studiando il segno della derivata seconda, troviamo che per \( x \gt -2/3\), la funzione volge la concavità verso l’alto, e che quindi, per \(x \lt -2/3\), la funzione volge concavità verso il basso.

Unendo i dati ottenuti, siamo in grado di tracciare il grafico della funzione:

Funzione esponenziale

Studiamo la funzione di equazione \( y=e^{\frac{x-1}{x}} \)

1. La funzione esponenziale è definita per ogni valore di $x$; tuttavia, in questo caso l’esponente di $e$ è una frazione, definita per \(x \ne 0\). Il dominio della funzione è, quindi, \(\mathbb{R} – \{0\}\);
2. La funzione non presenta simmetrie. Infatti, abbiamo: \[ f(-x) = e^{\frac{-x-1}{-x}} = e^{\frac{x+1}{x}} \] la funzione, quindi, non è né pari né dispari;
3. Determiniamo le intersezioni della funzione con gli assi cartesiani; sapendo che la funzione non è definita in zero, possiamo cercare solo le intersezioni con l’asse $x$: \[ \begin{cases} y=e^{\frac{x-1}{x}} \\ y = 0 \end{cases} \] Poiché la funzione esponenziale non si annulla mai, concludiamo che non vi sono intersezioni con gli assi;
4. Studiamo ora il segno della funzione, determinando gli intervalli in cui essa è positiva; risolviamo, quindi, la seguente disequazione: \[ e^{\frac{x-1}{x}} \gt 0 \] La disequazione è sempre verificata, quindi la funzione si trova sempre al di sopra dell’asse $x$.
5. Cerchiamo gli eventuali asintoti della funzione. Studiamo il limite per $x$ che tende a più o meno infinito: \[ \lim_{x\rightarrow \infty} e^{\frac{x-1}{x}} = e \] Poiché il limite esiste ed è finito, possiamo affermare che la retta $y = e$ è asintoto orizzontale per la funzione $f(x)$. Dato che la funzione non è definita in $x = 0$, è lecito ricercare l’asintoto verticale. Calcoliamo, quindi, il limite per $x$ che tende a zero: \[\lim_{x\rightarrow 0^{+}} e^{\frac{x-1}{x}} = 0 \,\,\,\, , \,\,\,\, \lim_{x\rightarrow 0^{-}} e^{\frac{x-1}{x}} = +\infty \] Possiamo concludere che la funzione ha $x = 0$ come asintoto verticale sinistro;
6. Calcoliamo la derivata della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti stazionari: \[ f'(x) = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \] Risolviamo quindi la seguente equazione: \[ f'(x) \gt 0 \Rightarrow e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \gt 0 \] La disequazione è verificate per ogni $x$ del dominio, quindi la funzione è crescente in tutto il dominio;
7. Determiniamo la derivata seconda della funzione, e cerchiamo gli eventuali punti di flesso: \[ f”(x) = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot \frac{1}{x^2} + e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{-2x}{x^4} = e^{\frac{x-1}{x}} \cdot \frac{1}{x^4} \cdot (1-2x) \] Risolviamo la seguente equazione: \[ f”(x) = 0 \] Da cui otteniamo il punto di ascissa \(1/2\), che è un punto di flesso per la funzione.

Studiando il segno della derivata seconda, troviamo che per \( x \lt 1/2\), la funzione volge la concavità verso l’alto, e che quindi, per \( x \gt 1/2\), la funzione volge concavità verso il basso.

Possiamo ora tracciare il grafico della funzione:

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