Le medie statistiche possono essere di due tipi: le medie ferme, che si hanno quando si considerano tutti i termini della distribuzione, e le medie lasche, che invece si hanno considerando solo alcuni dei valori ottenuti.
Le medie ferme
La media aritmetica
Consideriamo una distribuzione statistica i cui valori sono:
\[ x_1, x_2, \ldots, x_n \]
e presentano una frequenza assoluta pari a 1.
Si definisce, allora, la media aritmetica come il valore $m$ che, sostituito ad ogni valore della distribuzione, non ne altera la somma, cioè:
\[ x_1+x_2+\ldots+x_n = n \cdot m \Rightarrow \frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n} = m \]
La media aritmetica, in questo caso, viene definita semplice, in quanto tutti i valori della distribuzione presentano una frequenza assoluta di 1.
Altrimenti, se i valori della distribuzione presentano frequenze diverse da 1, si può calcolare la media aritmetica tenendo conto delle diverse frequenze: indicando con $f_1, f_2, …, f_n$ le frequenze relative agli $n$ valori, la definizione di media aritmetica diventa:
\[ m’ = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2+\ldots+x_n f_n}{\sum f} \]
E il valore $m’$ calcolato prende il nome di media aritmetica ponderata.
Esempio
Consideriamo una distribuzione di valori come la seguente:
| 21 | 20 | 24 | 30 | 21 | 30 | 28 | 26 | 28 | 26 |
Calcoliamo la media aritmetica della distribuzione sommando tutti i termini e dividendo poi tale somma per 10:
\( m = \frac{21+20+24+30+21+30+28+26+28+26}{10} = \frac{254}{10} = 25,4 \)
La media geometrica
Data una distribuzione di $n$ valori, ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media geometrica semplice il valore $m_g$ che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera il prodotto, cioè:
\[ x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n = m_g^n \Rightarrow \sqrt{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n} = m_g \]
Come visto precedentemente, nel caso in cui i valori abbiano frequenza diversa da 1, si può modificare la formula introducendo le frequenze relative a ciascun valore, e si ha:
\[ x_1^{f_1} \cdot x_2^{f_2} \cdot \ldots \cdot x_n^{f_n} = m_g^{\sum f} \Rightarrow \sqrt[\sum f]{x_1^{f_1} \cdot x_2^{f_2} \cdot \ldots \cdot x_n^{f_n}} = m_g \]
In questo caso, il valore di media trovato prende il nome di media geometrica ponderata.
Esempio
Consideriamo la distribuzione dell’esempio precedente, e calcoliamone la media geometrica.
| 21 | 20 | 24 | 30 | 21 | 30 | 28 | 26 | 28 | 26 |
Notiamo che alcuni valori appaiono più volte; sarà quindi necessario calcolare le relative frequenza, e applicare la formula seconda.
\( f_{21} = f_{30} = f_{28} = f_{26} = 2 \)
\( f_{20} = f_{24} = 1 \)
Ora possiamo calcolare la media geometrica:
\( m_g = \sqrt[10]{21^2 \cdot 30^2 \cdot 28^2 \cdot 26^2 \cdot 20 \cdot 24} = 25,14 \)
Media quadratica
Data una distribuzione di $n$ valori, ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media quadratica semplice il valore $m_q$ che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera la somma dei quadrati dei valori, cioè:
\[ x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 = n \cdot m_q^2 \Rightarrow \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2} = m_q \]
Come in precedenza, nel caso in cui i valori abbiano frequenza diversa da 1, si modifica la formula introducendo le frequenze relative a ciascun valore, e si ha:
\[ x_1^2 f_1 + x_2^2 f_2 + \ldots + x_n^2 f_n = {m’}_2^2 \Rightarrow \]
\[ \Rightarrow \sqrt{\frac{x_1^2 f_1 + x_2^2 f_2 + \ldots + x_n^2 f_n}{\sum f}}=m_q^{‘} \]
Il valore $m’$ così ottenuto prende il nome di media aritmetica ponderata.
Questo tipo di media è molto utile nel caso in cui si voglia ottenere il valore medio di una distribuzione senza tenere conto del segno dei valori.
Esempio
Consideriamo la distribuzione degli esempi precedenti, e calcoliamone la media quadratica, tenendo conto, come prima, delle diverse frequenze dei valori:
\( m_q = \sqrt{\frac{21^2+30^2\cdot 2 +28^2\cdot 2+26^2 \cdot 2+20^2+24^2}{10}} = 25,65\)
La media armonica
Data una distribuzione di $n$ valori, non nulli e ciascuno con frequenza uguale a 1, si definisce media armonica semplice il valore che, sostituito ai termini della distribuzione, non ne altera la somma dei reciproci, cioè:
\[ \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n} = n \cdot \frac{1}{m_a} \Rightarrow \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_n}}=m_a \]
Anche in questo caso, possiamo determinare la media armonica ponderata, che si ha quando le frequenze dei valori sono diverse da 1:
\[ \frac{f_1+f_2+\ldots+f_n}{\frac{f_1}{x_1}+\frac{f_2}{x_2}+\ldots\frac{f_n}{x_n}} = \frac{\sum f}{\sum \frac{f}{x}} = m_a^{‘} \]
Esempio
Consideriamo la distribuzione degli esempi precedenti, e calcoliamone la media armonica, tenendo conto, come in precedenza, delle diverse frequenze dei valori:
\( m_a = \frac{10}{\frac{2}{21}+\frac{2}{30}+\frac{2}{28}+\frac{2}{26}+\frac{1}{20}+\frac{1}{24}} = 24,88 \)
Possiamo notare, anche dagli esempi svolti, che, se i valori della distribuzione sono tutti positivi, tra le medie ferme sussiste la seguente relazione: \[ m_a \le m_g \le m \le m_q \]
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Esercizio (dal forum)
Una società di noleggio possiede diverse auto con diverso chilometraggio:
| Km | Numero di auto |
|---|---|
| 0−30 | 8 |
| 30−50 | 10 |
| 50−70 | 12 |
| 70−80 | 5 |
| 80−90 | 3 |
| 90−100 | 2 |
Qual è il numero medio di km?
E quanti km ha il 50 per cento delle auto
(Puoi trovare uno spunto per la soluzione nel forum di Matematicamente.it)
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