La dilatazione lineare
I corpi solidi hanno una caratteristica molto importante, il fatto che essi tendono ad espandersi quando vengono riscaldati, e a restringersi quando vengono raffreddati. Questo comportamento, inoltre, avviene in maniera regolare, e l’intensità dell’allungamento, o dell’accorciamento, delle lunghezze è direttamente proporzionale all’entità del riscaldamento. In particolare, la variazione della misura segue la legge sperimentale della dilatazione lineare:
$∆l = l – l_0 = l_0 * λ * ∆t$
dove ∆l indica l’allungamento del corpo, ed è dato dalla differenza tra la lunghezza finale del corpo (l) alla nuova temperatura, e la lunghezza iniziale (l0). Il parametro λ viene definito coefficiente di dilatazione lineare, che dipende dal materiale di cui è fatto il corpo in questione; in particolare, questa costante è numericamente uguale all’allungamento di una barra di lunghezza 1 metro, che viene riscaldata di 1° C. La variazione ∆t indica la differenza di temperatura cui è sottoposto il corpo.
La legge scritta nel seguente modo fornisce direttamente il valore della lunghezza finale:
$l = l_0 * (1 + λ * ∆t )$
Come detto in precedenza, la legge è una legge sperimentale, cioè basata non s dimostrazioni matematiche, ma su osservazioni, ed è quindi detta legge fenomenologia. Di conseguenza, sebbene trova particolare riscontro nelle situazioni pratiche, fornisce comunque valori approssimati, e funziona solo in determinati campi di validità. Infatti, la legge risulta inesatta nel caso di valori elevati della variazione della temperatura, ed è inapplicabile se i solido comincia a fondere.
E’ possibile vedere gli effetti dell’allungamento e dell’accorciamento di un corpo sottoposto a calore con uno strumento particolare, la lamina bimetallica. Questo strumento, come dice il nome, è una barretta costituita da due barrette metalliche unite tra loro, costituite da metalli che presentano coefficienti di dilatazione diversi.
Consideriamo, ad esempio, una lamina bimetallica costituita da barrette di acciaio e zinco di uguale lunghezza a temperatura ambiente.
Quando riscaldiamo la lamina, notiamo che la barretta si curva, in quanto una delle due lamine, in questo caso quella di zinco, se sottoposta a calore si allunga più dell’altra. Ciò è dovuto al fatto che il coefficiente di dilatazione dello zinco è maggiore di quello dell’acciaio; di conseguenza la barretta di zinco subisce un allungamento maggiore rispetto all’altra.
La dilatazione volumica
Se sottoposti a calore, i solidi, come abbiamo detto, si dilatano; ciò significa che aumenta non solo la loro lunghezza, ma anche la lori altezza e il loro spessore.
Se consideriamo, come nell’esempio precedente, una barretta di metallo, l’aumento di spessore che essa subisce è minimo rispetto all’aumento della sua lunghezza, per questo risulta trascurabile.
Altri solidi, invece, come il cubo o la sfera, subiscono un’allungamento omogeneo e uguale in tutte le direzioni. Si parla, quindi, di dilatazione volumica.
In questo caso, l’entità della dilatazione si può ricavare per via sperimentale, e si considera la legge della dilatazione volumica seguente:
$∆V = V – V_0 = V_0 * α * ∆t$
dove ∆V indica la dilatazione del corpo, ed è dato dalla differenza tra il volume finale del corpo (V) alla nuova temperatura, e il volume iniziale (V0). Il parametro α viene definito coefficiente di dilatazione volumica; la variazione ∆t indica la differenza di temperatura cui è sottoposto il corpo.
La legge può anche essere scritta nel seguente modo, per ricavare direttamente il valore del volume finale:
$ V = V_0 * (1 + α * ∆t)$
Esercizio
Il diamante ha coefficiente di dilatazione lineare $λ = 1,3 * 10^-6 °C^-1$; si consideri un diamante di volume $100 cm^3$ alla temperatura di 0,0°C. Calcolare la temperatura necessaria affinché il volume del diamante aumenti dell’ 1%.
Dai dati forniti dal problema sappiamo che il volume iniziale del solido è:
$V_0 = 100 cm^3 = 100 * 10^(-6) m^3$
Il volume del solido deve aumentare dell’ 1%, quindi il volume finale deve essere:
$V = V_0 + 1%V_0 = V_0 + frac(V_0)(100) = $
$ = (100 * 10^(-6) + 10^(-6)) m^3 = 101 * 10^(-6) m^3$
Sappiamo che la temperatura iniziale è di 0°C, quindi la variazione di temperatura ∆t è pari alla temperatura finale:
$∆t = t – t_0 = t – 0°C = t $
Possiamo quindi applicare la legge sperimentale della dilatazione volumica per determinare il valore di t:
$V – V_0 = V_0 * α * t to t = frac(V – V_0)(V_0 * α) $
Nel caso di un solido, si dimostra che il coefficiente di dilatazione volumica è pari a tre volte quello di dilatazione lineare; si ha quindi:
$t = frac(V – V_0)(V_0 * α) = frac(V – V_0)(V_0 * 3λ)$
Sostituiamo i valori numerici e determiniamo la temperatura finale:
$ t = frac(101 * 10^(-6) – 100 * 10^(-6))(100 * 10^(-6) * 3 * 1,3 * 10^(-6)) = frac(10^(-6))(390 * 10^(-12)) = 2,56 * 10^3 ° C$
Potrebbero interessarti
Video lezioni: La termodinamica
Appunti: La dilatazione dei liquidi
L'articolo La dilatazione dei solidi sembra essere il primo su Matematicamente.