Limite finito di una successione
Definizione: Si dice che una successione di elementi
\[ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \]
tende ad un valore $l$, al tendere di $n$ a più infinito, se, prefissato un valore \(\epsilon\) positivo, abbastanza piccolo, è possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero \(n_\epsilon\) tale che, per ogni numero naturale \(n \gt n_\epsilon\), sia verificata la seguente relazione:
\[ |a_n – l| \lt \epsilon \]
In simboli, possiamo scrivere:
\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = l \Leftrightarrow \forall\epsilon \gt 0, \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}: |a_n – l| \lt \epsilon \,\, \forall n \gt n_{\epsilon}\ \]
Se una successione tende ad un valore $l$, reale, la successione di dice convergente.
Possiamo quindi affermare che una successione tende ad un valore $l$ se è possibile determinare, dopo aver fissato un qualunque numero \( \epsilon \) abbastanza piccolo, un numero \( n_\epsilon \) per cui i valori della successione, definiti per tutti gli indizi $n$ che sono maggiori di \(n_\epsilon\), si avvicinano sempre di più a $l$.
Quindi, da un certo punto in poi (da \(n_\epsilon\) in poi), la distanza dei valori della successione da $l$ diventano sempre più piccoli, più piccoli di qualsiasi numero piccolo \(\epsilon\).
Esempio: Verifichiamo, utilizzando la definizione, che la successione così definita: \( a_n = \frac{n+1}{n} \)
ha limite 1, cioè che: \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{n+1}{n} = 1 \)
Procediamo fissando un \( \epsilon \gt 0 \), piccolo a piacere; dobbiamo mostrare che è possibile determinare un \(n_\epsilon\) ( che dipende da \(\epsilon\)) in modo che, per tutti i valori della successione individuati da \( n \gt n_\epsilon\), valga la seguente disuguaglianza:
\( \Big|\frac{n+1}{n}-1\Big| \lt \epsilon \)
Risolviamo la disuguaglianza:
\( \Big|\frac{n+1}{n}-1 \Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big|\frac{n+1-n}{n} \Big| \lt \epsilon \rightarrow \Big| \frac{1}{n} \Big| \lt \epsilon \)
Poiché $n$ è sempre positivo, possiamo togliere il valore assoluto:
\( \Big| \frac{1}{n} \Big| \lt \epsilon \rightarrow \frac{1}{n} \lt \epsilon \rightarrow n \gt \frac{1}{\epsilon} \)
Possiamo scegliere \( n_\epsilon = \frac{1}{\epsilon} \)
In questo modo, infatti, la disuguaglianza è verificata per tutti gli $n$ maggiori di \(n_\epsilon\).
Limite infinito
Definizione: Si dice che una successione di elementi \[ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n \] ha per limite più infinito, al tendere di $n$ a più infinito, se, prefissato un numero M positivo, abbastanza grande, è possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero $n_M$ tale che, per ogni numero naturale \( n \gt n_M\), sia verificata la seguente relazione:
\[ a_n \gt M \]
In simboli, possiamo scrivere:
\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = +\infty \Leftrightarrow \forall M \gt 0 \,\,\, \exists n_M \in \mathbb{N}: a_n \gt M \,\,\, \forall n \gt n_M \]
Se una successione tende a più infinito, essa si dice positivamente divergente.
Possiamo riassumere la definizione affermando che una successione diverge a più infinito se, comunque scelto un numero $M$ molto grande, esiste un termine della successione tale che ciascun termine della successione che abbiamo indice superiore ad esso, è maggiore di $M$.
Allo stesso modo, possiamo definire una successione negativamente divergente:
Definizione: Una successione è negativamente divergente, cioè ha per limite meno infinito, al tendere di $n$ a più infinito, se, prefissato un numero $M$ positivo, abbastanza grande, è possibile trovare, in corrispondenza di esso, un numero $n_M$ tale che, per ogni numero naturale \( n \gt n_M\), sia verificata la seguente relazione:
\[ a_n \lt -M \]
In simboli:
\[ \lim_{} a_n = -\infty \Leftrightarrow \forall M \gt 0 \,\,\, \exists n_M \in \mathbb{N}: a_n \lt -M \forall n \gt n_M \]
In generale, possiamo dire che una successione ha per limite infinito (generico) se:
\[ \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n = \infty \Leftrightarrow \forall M \gt 0 \,\,\, \exists n_M \in \mathbb{N}: |a_n| \gt M\,\,\, \forall n \gt n_M \]
Notiamo, quindi, che una successione positivamente (o negativamente) divergente non è limitata superiormente (inferiormente) ; allo stesso modo, si può affermare che una successione limitata superiormente (inferiormente) non può essere positivamente (negativamente) divergente.
Esempio: Consideriamo la successione definita analiticamente nel seguente modo: \( a_n = n^2 \)
Verifichiamo che essa diverge positivamente, cioè che: \( \lim_{n\rightarrow +\infty} n^2 = +\infty \)
Applicando la definizione precedente, dobbiamo mostrare che, una volta fissato un numero $M$ abbastanza grande, è possibile determinare un valore $n_M$, che dipenda da $M$, in modo che la seguente disuguaglianza sia verificata per tutti i valori della successione che abbiamo indice maggiore di $M$:
\( a_n \gt M \rightarrow n^2 \gt M \)
Risolvendo la disuguaglianza, otteniamo:
\( n^2 \gt M \rightarrow n \lt -\sqrt{M} \vee n \gt \sqrt{M} \)
Possiamo ignorare la prima parte della soluzione, in quanto $n$ è un numero positivo, e sappiamo che la radice di un numero $M$ positivo e sempre positiva, quindi non può essere \( n \lt -\sqrt{M} \).
Analizziamo ora la seconda parte della soluzione, cioè \( n \gt \sqrt{M} \). Possiamo scegliere \( n_M = \sqrt{M} \); in questo modo, la disuguaglianza precedente è verificata per tutti i valori di $n$ maggiori di $n_M$.
Successioni indeterminate
Non tutte le successioni ammettono limite, cioè sono convergenti o divergenti. Se una successione non ammette limite, né finito, né infinito, essa si dice indeterminata. Un esempio di successione indeterminata è la seguente:
\[ a_n = (-1)^n \]
la successione, infatti, assume il valore $1$ per $n$ pari, e il valore $-1$ per $n$ dispari.
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