La variabilità
La variabilità di un fenomeno riguarda la dispersione dei valori del fenomeno studiato, e viene misurata con dei numeri, detti valori sintetici, che indicano o di quanto i dati differiscono dal valore medio, o di quanto i dati differiscono tra loro.
Alcuni degli indici di dispersione esistenti sono il campo di variazione, lo scarto quadratico medio e la varianza.
Campo di variazione
Questo indice di variabilità consiste nella differenza tra il valore più alto e quello più basso della distribuzione; tale indice non fornisce un dato molto preciso della variabilità della distribuzione.
Ad esempio, se la distribuzione presenta i seguenti valori:
\( x_1 = 23, x_2 = 10, x_3 = 148, x_4 = 7, x_5 = 18, x_6 = 34 \)
il valore più grande è 148, mentre quelli più piccolo è 7, perciò il campo di variazione è dato da 148 – 7 = 141.
Varianza e scarto quadratico medio
Un indice di variabilità più accurato si ottiene calcolando il valore medio degli scarti della media al quadrato, e viene indicato con il termine varianza (var).
Si potrebbe pensare di trovare la varianza calcolando la media aritmetica degli scarti della media dei valori della distribuzione, ma in questo caso si troverebbe tale valore sempre nullo, poiché sono presenti scarti sia positivi che negativi, che si annullano a causa delle loro frequenze.
Data una distribuzione di $n$ valori $x_1, x_2, …, x_n$, di frequenza uguale a 1, la varianza è data dalla seguente formula:
\[ \mbox{var} = \frac{(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\ldots+(x_n-m)^2}{n} = \frac{\sum(x_i – m)^2}{n} \]
Dove $m$ indica la media aritmetica dei valori della distribuzione.
Se le frequenze delle distribuzioni non sono unitarie, dobbiamo modificare la formula precedente tenendo conto anche di tali frequenze:
\[ \mbox{var}= \frac{(x_1-m)^2\cdot f_1 +(x_2-m)^2\cdot f_2 +\ldots+(x_n-m)^2\cdot f_n}{f_1+f_2+\ldots+f_n} = \frac{\sum(x_i-m)^2\cdot f_i}{\sum f_i} \]
La radice quadrata della varianza prende il nome di scarto quadratico medio:
\[ \sigma = \sqrt{\mbox{var}} \]
La varianza è espressa nell’unità di misura dei valori della distribuzione al quadrato, mentre lo scarto quadratico medio ha la stessa unità di misura dei valori. Per agevolare i conti, in alcuni casi, si preferisce utilizzare numeri dimensionali, e quindi si ricorre al coefficiente di variabilità, dato dal rapporto tra lo scarto quadratico medio e la media dei valori:
\[ \mbox{c.v.} = \frac{\sigma}{m} \]
Considerando la distribuzione dell’esempio precedente, possiamo calcolare la varianza della distribuzione.
La media dei valori è data da:
\( m=\frac{23+10+148+7+18+34}{6} = \frac{240}{6} = 40 \)
Applichiamo poi la formula precedente per trovare la varianza:
\( \mbox{var} = \frac{(23-40)^2+(10-40)^2+(148-40)^2+(7-40)^2+(18-40)^2+(24-40)^2}{6} = \)
\( = \frac{(-17)^2+(-30)^2+(108)^2+(-33)^2+(-22)^2+(-6)^2}{6} = \)
\( = \frac{289+900+11664+1089+484+36}{6} = \frac{14462}{6} = 2410,33 \)
facendo poi la radice quadrata di tale numero, otteniamo lo scarto quadratico medio:
\( \sigma = \sqrt{2410,33} = 49,1 \)
L’interpolazione statistica
L’interpolazione statistica consiste nella sostituzione di una distribuzione reale con la cosiddetta curva interpolante.
Consideriamo due distribuzione statistiche di valori $x_1, x_2, …, x_n$ e $y_1, y_2, …, y_n$, tali da poter considerare le coppie $(x_i, y_i)$) come coordinate di punti di un piano cartesiano.
Rappresentando tali punti su piano, possiamo ottenere delle “nuvole” di punti, che non rappresentano delle curve ben definite. Se, però, la distribuzione di punti ricorda una curva ben precisa, è possibile sostituire tale insieme di punti con delle curve approssimate, che prendono il nome di curve interpolanti.
Nei due casi a fianco, per esempio, le “nuvole” di punti approssimano la curva di una retta e quella di una parabola. Vi sono diversi modi per poter determinare la curva interpolante; uno di questi è il metodo dei minimi quadrati.
Tale metodo prevede che l’equazione della curva deve essere tale che la somma dei quadrati degli scarti dei dati teorici , che si ottengono interpolando, da quelli reali, deve essere minima.
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