Descrizione del metodo della matrice inversa
Procedimento: Sia dato un sistema lineare di $n$ equazioni in $n$ incognite. Come sappiamo esso può essere scritto nella forma \( A \cdot x = b \), nella quale 𝐴 è la matrice \(n \times n\) dei coefficienti e $x , b$ sono due vettori colonna di $n$ coordinate, detti rispettivamente delle incognite e dei termini noti.
Osserviamo che se esiste la matrice inversa di 𝐴, ovvero se è possibile determinare in maniera unica una matrice \(n \times n\) \(A^{-1}\) tale che
\[ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I \]
allora il sistema è facilmente risolubile. Infatti in questo caso moltiplicando a sinistra per \(A^{-1}\) entrambi i membri dell’equazione che definisce il sistema abbiamo subito
\[ A \cdot x = b \Rightarrow A^{-1} \cdot (A\cdot x) = A^{-1} \cdot b \Rightarrow (A^{-1} \cdot A) \cdot x = A^{-1} \cdot b \]
Da cui \(x = A^{-1} \cdot b\) in virtù delle proprietà della matrice inversa e di quelle della matrice identica. In questo caso, a quanto pare, esiste sicuramente un vettore $x$ soluzione del sistema, ed esso è univocamente determinato perché deve essere necessariamente uguale a \(A^{-1}\cdot b\). Quindi il sistema non solo è possibile, ma anche determinato.
Osservazione 1: Naturalmente, non tutti i sistemi lineari di $n$ equazioni in $n$ incognite sono possibili o determinati, come subito evidenziato dalla seguente coppia di sistemi \(2 \times 2\):
\( \begin{cases} x+y=1 \\ x+y=0 \end{cases} \,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases} x+y=0 \\ x+y=0 \end{cases} \)
Il primo di essi è chiaramente impossibile, visto che \( 0 \ne 1\). Il secondo di essi, invece, è indeterminato: dato un qualsiasi valore $x$, basta imporre $y=-x$ per avere una soluzione del tutto accettabile, il che significa che ne esistono infinite.
Osservazione 2: L’osservazione 1 non contraddice il procedimento prima descritto per il fatto che quest’ultimo è applicabile se e solo se la matrice 𝐴 è invertibile, e come sappiamo condizione sufficiente affinchè questo accada è che sia \(|A| \ne 0\). In entrambi gli esempi dell’osservazione 1 avevamo invece \(|A| = 0\).
Regola di Cramer
Osservazione 3: Anche nel caso in cui sia \(|A| \ne 0\), il metodo della matrice inversa risulta tedioso da applicare perché in primo luogo bisogna calcolare \(A^{-1}\), fatto questo già lungo e complesso di per sé, e quindi fare un ulteriore prodotto righe per colonne. Per semplificare i calcoli applichiamo perciò la seguente regola di Cramer.
Regola di Cramer: Consideriamo la forma generica della matrice inversa di 𝐴:
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{A_{11}}{|A|} & \frac{A_{21}}{|A|} & \cdots & \frac{A_{n1}}{|A|} \\ \frac{A_{12}}{|A|} & \frac{A_{22}}{|A|} & \cdots & \frac{A_{n2}}{|A|} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{A_{1n}}{|A|} & \frac{A_{2n}}{|A|} & \cdots & \frac{A_{nn}}{|A|} \end{pmatrix} \]
Il risultato del prodotto righe per colonne di questa matrice con il vettore 𝑏 dei termini noti si calcola facilmente in base alla definizione come
\[ [A^{-1}\cdot b]_i = \sum_{j=1}^n [A^{-1}]_{ij} b_j = \sum_{j=1}^n \frac{A_{ji}}{|A|} b_j = \frac{1}{|A|} \sum_{j=1}^n A_{ji}b_j \]
L’ultima sommatoria scritta si può, e qui sta il trucco, interpretare come il determinante di quella matrice che si ottiene da 𝐴 sostituendo alla sua 𝑖-esima colonna il vettore colonna dei termini noti, il determinante essendo naturalmente sviluppato rispetto alla colonna sostituita. Abbiamo così che
\[ x_i = \frac{D_i}{|A|} \]
ossia che il valore dell’𝑖-esima incognita si ottiene dividendo per il determinante di 𝐴 il determinante di quella matrice che si ottiene sostituendo all’𝑖-esima colonna di 𝐴 la colonna dei termini noti del sistema. Abbiamo così ottenuto un metodo che evita del tutto il calcolo della matrice inversa, essendo sufficiente a priori calcolare al più $n+1$ determinanti per avere la soluzione.
Esempi applicativi
Esempio 1: Si risolva con la regola di Cramer il sistema
\( \begin{cases} 5x+y+2z=5 \\ x-5y+z=15 \\ -2x+4y+z=-15 \end{cases} \)
Per prima cosa scriviamo il sistema in forma matriciale e controlliamo che il determinante della matrice 𝐴 dei coefficienti non sia 0; questo si può fare facilmente con la regola di Sarrus o con il metodo dei triangoli:
\( \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 1 & -5 & 1 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 15 \\ -15 \end{pmatrix} \)
\( |A| = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 1 & -5 & 1 \\ -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} = -25+8-2-(20+20+1)=-19-41=-60 \ne 0 \)
Cosicché il metodo della matrice inversa, e consequenzialmente la regola di Cramer, sono applicabili. Per avere il valore di $x$, sostituiamo alla prima colonna di 𝐴 il vettore dei termini noti, e calcoliamo il determinante della matrice risultante; lo stesso facciamo per $y$ e $z$.
\( \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 15 & -5 & 1 \\ -15 & 4 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 2 \\ 15 & -5 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \)
\( = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 15 & 3 & 6 \\ 15 & -5 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} 0 & 8 & 5 \\ 15 & -5 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} = -105 \)
\( \begin{vmatrix} 5 & 5 & 2 \\ 1 & 15 & 1 \\ -2 & 15 & 1 \end{vmatrix} = 165 \)
\( \begin{vmatrix} 5 & 1 & 5 \\ 1 & -5 & 15 \\ -2 & 4 & 15 \end{vmatrix} = 30 \)
Nel primo caso abbiamo voluto mostrare come con le proprietà dei determinanti si possa spesso facilitare i calcoli. Per avere la soluzione non ci resta che dividere i numeri ottenuti per il determinante di 𝐴, ottenendo \(x=7/4, y = 11/4, z=-1/2\).
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