Esaminiamo alcune proprietà degli integrali definiti che ci permetteranno di effettuare operazioni con essi.
- Questa proprietà riguarda l’intervallo considerato in cui vogliamo calcolare l’area: se questo intervallo è costituito da un solo punto, l’area sottesa dal grafico della funzione è nulla: \[ \int_a^b f(x)\, dx = 0 \]
- Se, invece, al posto di calcolare l’area del trapezoide nell’intervallo [a;b], consideriamo l’intervallo [b;a], otteniamo, per convenzione, un risultato di segno opposto: \[ \int_a^b f(x)\, dx = -\int_b^a f(x)\, dx \]
- Consideriamo, ora, una funzione f(x) continua in un intervallo [a;b], e sia c un punto interno a tale intervallo. Allora, l’area sottesa dal grafico di f(x) nell’intervallo [a;b] può essere espressa come la somma delle aree sottese dalla funzione negli intervalli [a;c] e [c;b]: \[ \int_a^b f(x)\, dx = \int_a^c f(x)\, dx + \int_c^b f(x)\, dx \]
- L’integrale definito della somma di due funzioni è uguale alla somma dei loro integrali definiti, calcolati singolarmente; possiamo applicare tale regola anche nel caso della somma di più di due funzioni: \[ \int_a^b [f(x)+g(x)]\, dx = \int_a^b f(x)\, dx + \int_a^b g(x)\, dx \]
- L’integrale definito del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante per l’ integrale definito della funzione: \[ \int_a^b \alpha \cdot f(x)\, dx = \alpha \int_a^b f(x)\, dx \]
- Dalle due proprietà precedenti deriva che l’integrale definito della combinazione lineare di due o più funzioni è la combinazione lineare dei loro integrali definiti; l’integrale definito, quindi, è un operatore lineare: \[ \int_a^b [\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)]\, dx = \alpha \cdot \int_a^b f(x)\, dx + \beta \cdot \int_a^b g(x)\, dx \]
Teorema della media
Consideriamo una funzione f(x) positiva nell’intervallo [a;b]; per il teorema di Bolzano-Weirestrass, sappiamo che esistono in tale intervallo il massimo M della funzione e il minimo m.
Possiamo notare che l’area del rettangolo colorato (che ha altezza uguale al minimo assunto dalla funzione) è minore dell’area del rettangolo con bordo nero (che invece ha altezza pari al massimo assunto dalla funzione), e l’area sottesa dal grafico di f(x) è proprio compresa tra questi due valori.
\[ m(b-a) \le \int_a^b f(x)\, dx \le M (b-a) \]
In particolare, il teorema afferma che esiste un punto c interno all’intervallo [a;b] per cui si ha che:
\[ \int_a^b f(x)\, dx = (b-a) \cdot f(c) \]
Il valore di f(c) prende il nome di valore medio della funzione f(x) nell’intervallo [a;b]. Questo valore può essere pensato anche come il limite, per n che tende all’infinito, della media aritmetica dei valori che la funzione assume nei punti \(c_1, c_2, \ldots, c_n \), interni agli n intervalli in cui è stato suddiviso l’intervallo [a,b]:
\[ \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{f(c_1)+f(c_2)+\ldots+f(c_n)}{n} = \frac{\int_a^b f(x)\, dx}{(b-a)} \]
La funzione integrale
Consideriamo una funzione f(x) continua nell’intervallo chiuso e limitato [a;b], e sia x un punto di tale intervallo. La funzione F(x), definita come:
\[ F(x) = \int_a^x f(t)\, dt \]
viene definita funzione integrale di f in [a;b].
La variabile indipendente per la funzione F(x) è l’estremo superiore dell’integrale definito, mentre la variabile t viene definita variabile di integrazione.
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Se la funzione f(x) è continua in [a;b], la corrispondente funzione integrale F(x) è derivabile, e per ogni x appartenente a tale intervallo, si ha che:
\[ F'(x) = f(x) \]
Quindi, essendo F(x) derivabile, e quindi continua, nell’estremo x di [a;b], la sua derivata coincide con il valore assunto dalla funzione integranda f(x) in tale estremo. La funzione F(x) è, quindi, una primitiva di f(x).
Sapendo che, in generale, possiamo esprimere le primitive di f(x) come F(x)+c, e sapendo che la primitiva di f(x) è il suo integrale indefinito, possiamo scrivere che:
\[ \int f(x)\, dx = \int_a^x f(x)\, dx + c \]
Possiamo, quindi, affermare che l’integrale indefinito di una funzione continua in un intervallo [a;b] esiste sempre.
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